§ 9. Интеграл фурье
Если функция f(х) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном
отрезке
оси Ox
и
абсолютно интегрируема вдоль всей оси
( т. е.
сходится ), то для нее справедлива интегральная формула Фурье (получаемая
предельным переходом из ряда Фурье периодической функции с периодом 21 при l—>∞):
(в точках разрыва I рода по-прежнему за значение f (x) принимается (1/2) [f(х0—0)+f(xо+0)], где х0 — абсцисса точки разрыва). Интеграл Фурье можно представить в комплексной форме:
Для четной функции интеграл Фурье может быть представлен в виде
а для нечетной функции—в виде
С тремя последними формулами связаны так называемые интегральные преобразования Фурье:
1. Преобразование Фурье общего вида:
(обратное).
(прямое).
2. Косинус-преобразование Фурье (для четных функций):
(прямое),
(обратное).
3. Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций):
(прямое),
(обратное).
Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям, заданным лишь на положительной полуоси Ох, если они абсолютно интегрируемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке условиям Дирихле. При этом синус-преобразование продолжает функцию f(х) на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование — четным.
Примечание. В интегральных формулах Фурье все интегралы вида
понимаются в
смысле главного
значения, т.
е.
501.
Найти
косинус- и синус-преобразования функции
∆ Имеем
Так
как
то
Аналогично получаем
В
свою очередь, применив косинус- и
синус-преобразования Фурье к
функциям
и
,
получим функцию f
(х),
т.
е
Отсюда получаем интегралы Лапласа:
▲
502. Пусть функция f(х) определена равенствами
п
ри
0 ≤
x <
a
f(x)= 1/2 при x = a;
0 при x < 0.
Найти ее косинус- и синус-преобразования (рис. 34).
∆ Находим косинус-преобразование данной функции:
Найдем теперь синус-преобразование:
Отсюда получаем
(разрывный множитель Дирихле) и
503. Найти преобразование Фурье функции
∆ По формуле преобразования Фурье
используя вид функции f(х), находим
Первый и последний интегралы, очевидно, равны нулю. Обозначим остальные интегралы соответственно через I1, I2 и I3 и вычислим их:
Итак,
Найти преобразование Фурье функции
Найти преобразование Фурье функции
Найти синус- и косинус-преобразования Фурье функции
