Лекция 8
Основная теорема статики. Условия равновесия различных систем сил
Вопросы лекции:
1. Основная теорема статики (теорема Пуансо).
2. Приведение системы сил к данному центру. Теорема Вариньона.
3. Условия равновесия различных систем сил.
4. Равновесие системы тел. Понятие о трении.
5. Понятие о центре тяжести тела и его определении.
1. Основная теорема статики (теорема Пуансо).
Лемма о параллельном переносе силы. Любую силу, не изменяя её действия на твёрдое тело, можно параллельно перенести в другую точку тела, добавив пару сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно новой точки.
Доказательство.
Пусть в точке А тела на него действует
сила
.
Возьмём произвольную точку тела В
и приложим к телу в этой точке систему сил
По
А1 система
,
а по А2
В
силу выбора
,
а силы
образуют пару сил, момент которой
согласно материалу прошлой лекции равен
моменту силы
относительно точки В. чтд.
Основная теорема статики. Любую систему сил, не изменяя её действие на тело, можно заменить одной силой, равной векторной сумме всех сил системы и приложенной в произвольном центре О, и одной парой сил с моментом, равным векторной сумме моментов всех сил системы относительно центра О.
Символическая запись теоремы:
Доказательство.
Пусть на тело действует произвольная
система сил
.
Выберем в этом теле центр О.
Возьмём
силу
и, применяя к ней лемму о параллельном
переносе силы, переместим её в центр О,
добавив пару сил с моментом
.
Затем,
то же самое проделаем с силами
.
Таким
образом, в точке О получаем совокупность
сил
и пар сил с моментами
.
Силы в центре О образуют систему сходящихся сил и, как следует из аксиомы параллелограмма, могут быть заменены на одну силу, равную
11\* MERGEFORMAT ()
Как установлено на прошлой лекции, совокупность пар сил также можно всегда заменить одной парой с моментом
22\* MERGEFORMAT ()
Следовательно,
центре О получаем одну силу
и одну пару сил с моментом
.
Так как на каждом этапе преобразований выполнялись только эквивалентные замены, то теорема полностью доказана.
Центр О, о котором идёт речь в основной теореме статики, называется центром приведения системы сил. Процесс замены системы сил на одну силу и одну пару сил называется приведением системы сил к данному центру.
Сила,
равная векторной сумме всех сил системы
33\* MERGEFORMAT ()
называется главным вектором системы сил.
Пара сил, момент которой равен векторной сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения
44\* MERGEFORMAT ()
называется главным моментом системы сил.
В силу введённых определений основная теорема статики может быть сформулирована кратко:
л юбая система сил эквивалентна главному вектору и главному моменту.
В большинстве реальных случаев системы сил состоят из значительного числа сил, поэтому главный вектор и главный момент систем сил находят аналитически, по проекциям на оси координат. С началом в центре приведения выбирают систему координат Oxyz и согласно равенствам (3) и (4) находят проекции главного вектора
55\* MERGEFORMAT ()
и главного момента
66\* MERGEFORMAT ()
на эти оси. После этого можно найти их модули
77\* MERGEFORMAT ()
88\* MERGEFORMAT ()
и направления
99\* MERGEFORMAT ()
Таким образом, главный вектор и главный момент будут полностью определены.
Замечания. 1) Главный вектор ни в коем случае нельзя называть равнодействующей. Он не эквивалентен всей системе сил, а, как утверждает основная теорема статики, заменяет исходную систему сил только вместе с главным моментом. Как будет показано позже, если для какой-либо системы сил равнодействующая существует, то она всегда по модулю и направлению совпадает с главным вектором, но не любой главный вектор – равнодействующая!
2) Хотя теорема называется основной теоремой статики, она справедлива для любого движения тела, так как утверждает, что ничего в движении не изменится, если систему сил заменить главным вектором и главным моментом.
3) Центр приведения следует выбирать в том же теле, на которое действует исходная система сил.