3. Анализ позиционных систем счисления.

Позиционной системой счисления называется система записи любых по величине чисел ограниченным числом символов.

Основание (базис) r позиционной системы счисления - максимальное количество различных знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Таким образом, основание может быть любым числом кроме 1 и бесконечности.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления – интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, представленными при заданной длине разрядной сетки.

В вычислительной технике для представления данных и выполнения арифметических операций над ними удобно использовать двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Ниже коротко остановимся на них.

Двоичная система счисления

Для записи числа в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Основание системы записывается как 10₍₂₎ (2₁₀=1·2¹+0·2⁰). Используя данную систему любое число можно выразить последовательностью высоких и низких потенциалов или группой запоминающих элементов, способных запоминать одно из двух (0,1) значений. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0,1,2 … 7, а основание записывается как 10₍₈₎ (8₁₀=1·8¹+0·8⁰). Рассмотрим примеры выполнения операций в восьмеричной системе счисления. При их выполнении используются правила представленные в таблицах сложения и умножения восьмеричных цифр.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления используются шестнадцать символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Основание записывается как 10₍₁₆₎ (16₁₀=1*16¹+0*16⁰).

1. Преобразование чисел в разных системах счисления.

Так как числа, участвующие в операциях, могут быть представлены в различных позиционных системах счисления, то для выполнения действий над ними требуется привести их к одной системе счисления. Необходимо отметить, что целая и дробная части числа переводятся отдельно. Следовательно, все методы перевода чисел можно подразделить на две группы: перевода целых и дробных чисел.

Перевод целых чисел.

Метод подбора степеней основания. В соответствии с (2) целые числа в системах счисления с основаниями r₁ и r₂ могут быть представлены:

_{n k}

A _r1 = a_i r₁ⁱ = b_j r₂^j = A _r2 ,

_{i=0 j=0}

В общем случае перевод числа из системы счисления с основанием r₁ в систему счисления с основанием r₂ можно представить как задачу определения коэффициентов b_i нового ряда, изображающего число в системе счисления с основанием r₂. Основная трудность в выборе максимальной степени основания r₂, которая еще содержится в числе A_r1. Все действия должны выполняться по правилам r₁-арифметики (то есть исходной системы счисления). После нахождения максимальной степени и соответствующего ей коэффициента необходимо найти коэффициенты для всех остальных (младших) степеней.

Метод деления на основание системы счисления.

Пример: A₁₀=37 , A₂=?

37=1·2⁵ + 0 ·2⁴ + 0 ·2³ + 1·2² + 0 ·2¹ + 1·2⁰=100101

Нечетным двоичным числом 100101 является число, содержащее единицу в младшем разряде.

Пример А₁₀ = 37 ; A₂ = ?; А₅=?

Перевод правильных дробей.

Метод подбора величин, обратных степеням основания.

A₁₀ =0,716

А₂ =0,1011...

Количество разрядов после запятой зависит от точности, с которой требуется представить число.