- •Поняття первісної та невизначеного інтеграла.
- •Основні властивості невизначеного інтеграла.
- •Деякі методи інтегрування Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної у невизначеному інтегралі.
- •Інтегрування частинами.
- •Визначений інтеграл Задача про площу криволінійної трапеції.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •Властивості визначеного інтеграла, які виражаються рівностями.
- •Властивості визначеного інтеграла, які виражаються нерівностями.
- •Метод інтегрування частинами.
- •Метод заміни змінної.
- •Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла.
- •Основні поняття
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •3. Інтегрування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку.
- •Основні поняття.
- •Диференціальне числення фдз. Частинні прирости, похідні та диференціали.
- •Диференційовність функції двох змінних.
- •Похідна за напрямком.
- •Градієнт.
- •Найважливіші властивості градієнту:
- •Частинні похідні вищих порядків.
- •Екстремуми функції двох змінних.
- •Умовний екстремум.
- •Найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкненій області.
- •На стороні оа , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
- •На стороні ав або , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
- •На стороні ов , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
Екстремуми функції двох змінних.
Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл точки , що для всіх точок , які належать цьому околу і відмінних від , виконується умова
Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму.
Означення. Точки з області визначення функції, в яких усі частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками.
Означення. Ті точки, в яких усі частинні похідні першого порядку існують і дорівнюють нулю, називаються стаціонарними.
В цих точках вектор-градієнт є нуль-вектор. Іншими словами: повний диференціал першого порядку у стаціонарних точках тотожно (при будь-яких приростах аргументів) дорівнює нулю.
Теорема (необхідна умова екстремуму функції).
Якщо функція у точці досягає екстремуму, то ця точка є критичною.
Із теореми випливає, що екстремуми слід шукати лише серед критичних точок (які можна назвати підозрілими на екстремуми).
Зауваження. Кожна точка екстремуму є критичною, але не кожна критична точка є точкою екстремуму.
Приклад . .
; ;
– критична точка і . Але вона не є точкою екстремуму, оскільки , якщо (тобто, і мають однаковий знак), і , якщо (тобто і мають різні знаки).
Для з’ясування питання про існування екстремуму функції у критичній точці потрібно знайти у цій точці диференціал другого порядку і дослідити його знак при довільних приростах аргументів. Якщо , то - точка мінімума, а якщо , то - точка максимума (порівняй із другою достатньою умовою екстремума для функції одного аргумента, так званим «правилом дощу»). Але якщо для функції одного аргумента і знак диференціала другого порядку співпадає зі знаком другої похідної, то для функцій двох і більше аргументів це не так. Тому використовують достатню умову, яка базується на дослідженні диференціалу другого порядку як квадратичної форми відносно приростів аргументів (а саме – на основі додатної або від’ємної визначеності цієї форми).
Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай у деякому околі стаціонарної точки функція має неперервні частинні похідні другого порядку.
Розглянемо визначник Гессе (Гессіан) у цій точці.
.
Якщо , то - точка екстремуму, причому: якщо , то – точка мінімуму; якщо , то – точка максимуму.
Якщо , то в точці екстремуму немає.
3. Якщо , то питання про існування екстремуму залишається відкритим і потрібні додаткові досліждення.
Зауваження 1. Очевидно, що коли , то
,
тобто, і мають однакові знаки, тому визначити вид екстремуму ( або ) можна і за знаком .
Зауваження 2. Очевидно, що коли , то умова а) еквівалентна додатності диференціала другого порядку, тобто , а умова б) еквівалентна від’ємності диференціала другого порядку, тобто .
Приклад . Дослідити на екстремум функцію: .
Розв’язування.
Область визначення функції .
Знайдемо частинні похідні першого порядку:
, .
Оскільки похідні визначені на , то серед критичних будуть лише стаціонарні точки. Знайдемо їх, розв’язуючи систему рівнянь:
.
Маємо дві стаціонарні точки і - підозрілі на екстремум (за теоремою – необхідна умова екстремуму). Застосуємо теорему - достатню умову існування екстремуму. Для цього знайдемо частинні похідні другого порядку:
; ; .
Вираз для Гессіана має наступний вигляд:
.
- точка екстремуму.
Оскільки – точка мінімуму.
в точці екстремуму немає.
Відповідь: .
Приклад . Дослідити на екстремум функцію: .
Розв’язування.
; частинні похідні першого порядку: , визначені у будь-якій точці координатної площини, тому серед критичних будуть лише стаціонарні точки. Знайдемо їх, розв’язуючи систему рівнянь:
стаціонарна точка – підозріла на екстремум (за теоремою – необхідна умова екстремуму). Застосуємо теорему - достатню умову існування екстремуму. Для цього знайдемо частинні похідні другого порядку:
; ; .
Вираз для Гессіана: .
за теоремою питання про екстремум в точці відкрите. Але в точці функція досягає мінімума , оскільки очевидно, що для всіх точок .
Приклад . Дослідити на екстремум функцію: .
Розв’язування.
; частинні похідні першого порядку ; визначені у будь-якій точці координатної площини, тому серед критичних будуть лише стаціонарні точки. Знайдемо їх, розв’язуючи систему рівнянь:
стаціонарна точка – підозріла на екстремум (за теоремою – необхідна умова екстремуму). Застосуємо теорему - достатню умову існування екстремуму. Для цього знайдемо частинні похідні другого порядку:
; ; .
Вираз для Гессіана: .
за теоремою питання про екстремум в точці відкрите. Додаткові дослідження показують, що для всіх точок площини з від’ємними координатами , а для всіх точок площини з додатними координатами в точці екстремуму немає.