- •Поняття первісної та невизначеного інтеграла.
- •Основні властивості невизначеного інтеграла.
- •Деякі методи інтегрування Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної у невизначеному інтегралі.
- •Інтегрування частинами.
- •Визначений інтеграл Задача про площу криволінійної трапеції.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •Властивості визначеного інтеграла, які виражаються рівностями.
- •Властивості визначеного інтеграла, які виражаються нерівностями.
- •Метод інтегрування частинами.
- •Метод заміни змінної.
- •Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла.
- •Основні поняття
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •3. Інтегрування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку.
- •Основні поняття.
- •Диференціальне числення фдз. Частинні прирости, похідні та диференціали.
- •Диференційовність функції двох змінних.
- •Похідна за напрямком.
- •Градієнт.
- •Найважливіші властивості градієнту:
- •Частинні похідні вищих порядків.
- •Екстремуми функції двох змінних.
- •Умовний екстремум.
- •Найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкненій області.
- •На стороні оа , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
- •На стороні ав або , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
- •На стороні ов , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
Основні поняття.
У багатьох задачах економіки доводиться моделювати залежності результату від впливу на нього декількох (більше одного) факторів. Це призводить до необхідності вивчення функцій декількох незалежних змінних вигляду . Для спрощення і можливості геометричної інтерпретації (не втрачаючи при цьому загальності) всюди надалі розглядаються лише функції двох змінних або .
Означення. Якщо кожній точці за деяким законом або правилом поставлено у відповідність єдине число , то кажуть, що задано функцію двох незалежних змінних або .
При цьому множина називається областю визначення функції, а множина – множиною значень функції.
Якщо не задана, то область визначення аналітично заданої функції двох змінних є множина точок простору , при яких аналітичний вираз має сенс.
Розглянемо деякі приклади знаходження областей визначення функцій двох змінних. При цьому для наочності будемо знаходити геометричні образи областей визначення.
у
х
0 Розв’язування. оскільки аналітичний вираз має сенс, коли його знаменник не дорівнює нулю. Геометричний образ – множина усіх точок площини , окрім точок прямої (див.рис).
|
|
у
х
0 Розв’язування. , оскільки аналітичний вираз має сенс, коли аргумент логарифма додатний. Геометричний образ - це множина точок площини , координати яких мають однаковий знак (І і ІІІ координатні чверті), окрім точок, які належать осям і .
|
|
У подальшому, при знаходженні геометричних образів розв’язків нерівностей з двома змінними та їх систем будемо використовувати наступне правило, яке базується на властивості збереження знаку неперервною функцією.
Правило («метод пробної точки»). Нехай у площині задана лінія , яка визначається рівнянням (де - неперервна функція), і ця лінія розбиває площину на дві області: та . Якщо у довільній точці , що належить одній із цих областей, виконується нерівність ( ), то вона виконується в усіх точках цієї області.
Приклад . Знайти область визначення функції .
Розв’язування.
.
Для знаходження геометричного образа області визначення розглянемо рівняння границі :
, або .
2
у
х
0
2 |
|
За вказаним правилом ця нерівність буде виконуватись для всіх точок площини, які лежать усередині кола. Отже, областю визначення функції є круг разом із границею - колом.
У попередніх прикладах функція двох змінних була задана аналітично (формулою), але її також можна задати таблично, графічно тощо.
Наприклад, залежність об’єму виробництва від двох основних факторів виробництва – капіталу і – праці – можна зобразити у вигляді таблиці, де для кожного набору витрат капіталу і витрат праці можна знайти відповідний об’єм виробництва :
-
…
…
…
…
…
Графіком функції двох змінних називається множина точок простору . Ця множина, як правило, утворює деяку поверхню у трьохвимірному просторі.
Приклади.
x
z
y
0
|
Графіком функції
є площина, яка перетинає осі координат у точках . |
Зауважимо, що графіком будь-якої лінійної функції є деяка площина у трьохвимірному просторі.
Приклад .
x
z
y
0 |
Графіком функції є так званий параболоїд обертання. Ця поверхня утворюється, якщо обертати параболу або навколо осі . Як бачимо, накреслити графік функції не завжди просто. Більш простою геометричною ілюстрацією функції двох змінних є лінії рівня. |
Лінії рівня.
Лінії рівня функції визначаються рівнянням , де – довільні сталі, узяті із множини значень функції.
Лінії рівня отримуються проектуванням на площину перетинів графіка функції площинами і лежать в області визначення функції . Лінії рівня не перетинаються і вздовж них функція залишається сталою.
Сукупність усіх ліній рівня називається картою ліній рівня.
Приклад . Для функції лінії рівня визначаються рівнянням або , де . Карта ліній рівня – множина паралельних прямих (див.рис.).
у
х
0
|
При
При
При
При |
Приклад . Для функції лінії рівня визначаються рівнянням , де . Карта ліній рівня – множина концентричних кіл з центром в точці і радіусом .
у
х
0
С = 4
С = 1
С = 0 |
При : – єдина точка . При : – коло . При : – коло . |