- •Поняття первісної та невизначеного інтеграла.
- •Основні властивості невизначеного інтеграла.
- •Деякі методи інтегрування Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної у невизначеному інтегралі.
- •Інтегрування частинами.
- •Визначений інтеграл Задача про площу криволінійної трапеції.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •Властивості визначеного інтеграла, які виражаються рівностями.
- •Властивості визначеного інтеграла, які виражаються нерівностями.
- •Метод інтегрування частинами.
- •Метод заміни змінної.
- •Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла.
- •Основні поняття
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •3. Інтегрування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку.
- •Основні поняття.
- •Диференціальне числення фдз. Частинні прирости, похідні та диференціали.
- •Диференційовність функції двох змінних.
- •Похідна за напрямком.
- •Градієнт.
- •Найважливіші властивості градієнту:
- •Частинні похідні вищих порядків.
- •Екстремуми функції двох змінних.
- •Умовний екстремум.
- •Найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкненій області.
- •На стороні оа , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
- •На стороні ав або , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
- •На стороні ов , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
Найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкненій області.
В обмеженій замкненій області неперервна функція завжди досягає свого найбільшого і найменшого значення (теорема Вейерштрасса), які можуть досягатись або в критичній точці усередині області, або на межі (границі) області.
Алгоритм розв’язування такої задачі є аналогічним знаходженню найбільшого та найменшого значень функції однієї змінної на замкненому проміжку - сегменті.
По заданих обмеженнях побудувати область .
Знайти критичні точки і обчислити значення функції в тих критичних точках, які належать області .
Знайти найбільше і найменше значення функції на на межі області .
Серед усіх знайдених значень функції вибрати найбільше і найменше.
Приклад . Знайти найбільше та найменше значення функції в трикутнику, обмеженому прямими , , .
Розв’зування.
Побудуємо заданий трикутник ОАВ – геометричний образ області (див. рис.)
4
О
В
х
у
А
1,4
2 |
2. Знайдемо критичні точки:
Критична точка і .
|
3. Знайдемо найбільше і найменше значення на межі (границі) заданої області , яка складається із трьох сторін трикутника: ОА, АВ і ОВ.
На стороні оа , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
; ; критична точка і .
На кінцях відрізка ОА: ; .
Отже, на стороні ОА найменше значення , а найбільше - .
На стороні ав або , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
, , критична точка і .
На кінцях відрізка:
; .
Отже, на стороні АВ найменше значення , а найбільше - .
На стороні ов , тому знаходимо найбільше та найменше значення функції однієї змінної: на сегменті .
; ; критична точка і .
На кінцях відрізка: ; .
Отже, на стороні ОВ найменше значення: , а найбільше: .
Порівнюючи значення функції в точках , , , , , , :
; ; ; ;
; ; ,
робимо висновок: найбільше значення, яке дорівнює , функція набуває на межі області в точці , а найменше значення, яке дорівнює , функція набуває всередині області в точці .
Зауваження. Якщо функція - лінійна, то її графіком є деяка площина у просторі , а область задається системою лінійних нерівностей, які визначають опуклий многокутник на площині , то критичних точок всередині, а також на межі області не існує (не існує точок, в яких ). Тому лінійна функція набуває своїх найбільшого і найменшого значень тільки в точках, які є вершинами многокутника.
Наприклад, знайти найбільше та найменше значення функції в прямокутнику .