- •Сформулировать определение понятия производной.
- •III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)
- •3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.
- •4) Рассмотреть приложение производной.
- •С помощью этой теоремы можно обосновать формулу Ньютона-Лейбница. Изучение доказательства проведем методом подготовительных задач.
- •Приращение аргумента, приращение функции.
- •Определение производной.
- •3. Понятие функции, непрерывной в точке.
- •1.1Роль аксиом в построении школьного курса геометрии.
- •1.2. Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе.
- •I,. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
- •12. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
- •47. Понятийный аппарат координатного метода. Методика обучения координатному методу
- •48. Методические особенности обучения математике в системе развивающего обучения д.Б. Эльконина - в.В. Давыдова
- •46 Метод схема изуч фор-ы объема прямоугольного параллелепипеда
№15.16 Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества.
Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия , и острых углов треугольника вводится для углов от до , как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). следующие выражения «прилежащий» и «противолежащий»
Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: « Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника».
С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте « Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике».
Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.
Для синуса это доказывается так:
= ,
так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.
Из определений , и получаем следующие правила:
Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;
Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;
Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .
По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.
Вводятся основные тригонометрические тождества:
, , , .
В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:
, .
Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла и возрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:
, , тогда , .
, тогда из равенства правых частей получаем: .
, тогда .
№17. Методика введения определений тригонометрических функций углов от до .
Расширение области определения тригонометрических функций от до происходит в теме: «Декартовы координаты на плоскости».
Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость угол . Пусть точка имеет координаты и . , , то из треугольника : , .
Определяются значения и этими формулами для любого угла α (для 0-исключается). Можно найти значения этих функций для углов 900, 00, 1800. Доказывается, что для любого угла α , 00<α<1800, .
п
y
А1(x1, y1)
1800-α
A(x, y)
x
B
B1
α
R
O
Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
№18. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры и начала анализа.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:
в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;
затем введенные понятия обобщаются для углов от до ;
тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:
Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;
Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);
Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;
Утверждение функциональной точки зрения на , , и (трактовка , , и как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);
Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;
Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.
В курсе «Алгебра 9» учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения и определимы при , т.к угла поворота можно найти соответствующее значение дробей и . Выражение имеет смысл при , кроме углов поворота , , …, т.к. имеет смысл дробь .
Каждому допустимому значению соответствует единственное значение , , и . Поэтому , , и являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функциями.
Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:
область значения и - , для и - множество всех действительных чисел.2) промежутки знакопостоянства: , то значит зависит от знака и т.д. 3) , и являются нечетными функциями, а является четной функцией. 4) при изменении угла на целое число оборотов значение , , , не изменится (под обратным понимаем поворот на ).
Определение тригонометрической функции выглядит так:
Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной
окружностью. Пусть точка единичной окружности получена при повороте точки на угол в радиан. Ордината точки - это синус угла . Числовая функция, заданная формулой , называется синусом числа, каждому числу ставится в соответствие число .
№21. Образовательные цели изучения производной функции.
Цель изучения курса алгебры и начала анализа в 10-11 в.в. систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимого апорта для изучения геометрии и физики.
Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов.
При изучении темы «Производная» проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.
Включённые в курс сведения о пределах имеют вспомогательный характер, они необходимы для вывода формул производных. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Многочлены невысоких степеней и их частных -наиболее простой объект для иллюстрации идеи предельного перехода.
Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.
При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.
Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи.
№22. Методическая схема изучения производной.
Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением , причём чем меньше значение , тем менее «заметно» изменение средней скорости падения. При , отношение стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t.
В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:
Пусть -параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра в момент, когда . Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра , соответствующую приращению .
Сформулировать определение понятия производной.
Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.
Например:
После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:
Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное отношение:
Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия: 1) число, 2) к которому стремится разностное отношение
при
Закреплению определения производной способствует вопрос: «Как найти производную функции в точке ?», ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение ; 2) находим приращение функции в точке ; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число (если такое число существует), к которому стремится при
III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)
3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.
4) Рассмотреть приложение производной.
№23. Методическая схема изучения первообразной функции.
В школьном учебнике были “испытаны” различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.
Методическая схема изучения первообразной:
рассмотреть примеры взаимно обратных операций;
ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования;
выполнить упражнения типа: “Доказать, что данная функция есть первообразная другой данной функции ”, “Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции ”;
ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;
составить таблицу первообразных;
ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;
решить физические задачи с применением первообразной.
При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число – их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть “восстановлено” выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: . Выполнив обратную операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.
Дифференцирование функции приводит к новой функции , которая является производной функции Пусть теперь известно, что производная некоторой функции равна , т.е.: ; требуется найти функцию .
Операция нахождения функции по ее производной называется интегрированием. Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого
№24. Метод схема изуч теоремы о площади криволинейной трапеции
Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: “Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a).”