3. Развитие и понятие числа в школьном курсе матем. Проблемные моменты введения понятия иррациональны и действительных чисел

Понятие «число», являются основными понятиями школьного курса математики.Основные числовые множества изучаемые в математике общеобразовательной школы:N, Z, Q,I, R. Все числовые множества связаны отношением включения.В этой связи понятие числа на разных этапах обучения в математике расширяется, поглощая предыдущие представления учащихся:- в 5 классе число – это и натуральное число и обыкновенная дробь, и десятичная дробь;- в 6 классе число – это и натуральное число и целое, и рациональное число;- в 7 классе число – это натуральное, целое, рациональное число, которые играют ключевые роли в уравнениях, неравенствах, функциях;- в 8 классе число – это и рациональные, и иррациональные числа, это действительное число с его геометрической моделью;- в 9 классе число – это действительное число на числовой прямой, на котором исследуются функции, уравнения, неравенства;- в 10 – 11 классе число – сформированное представление о действительном числе, множестве R со свойством непрерывности, но котором развиваются элементы математического анализа.

иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу.

Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0).

Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.

Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные. Для действительных чисел a, b, c выполняются привычные законы:

a+b=b+a;ab=ba;a+(b+c)=(a+b)+c;(ab)c=a(bc); (a+b)c=ac+bc.

Говорят, что действительное число a больше (меньше) действительного числа b, если их разность а - b — положительное (отрицательное) число. Пишут a > b (a < b).

4.Методика изучений уравнений и их свойства.

Уравне́ние — это равенство вида f(x1, x2…)=g(x1, x2…) где f иg — функции одного или нескольких аргументов.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Основные свойства

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

В любой части уравнения можно раскрыть скобки.

В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.

К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.

Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.

Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

5.Методика изучений неравенств и их свойства.

Числовым неравенством называется выражение вида a<b a b a>b a b ,

Решить неравенство - значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.

Основные свойства.

a < b b > a

a < b и b < c a < c

a < b a + c < b + c или a - c < b - c

a < b и c < 0 ac>bc или a/c>b /c

a < b и c > 0 ac<bc или a/c<b/c

a + b > c a - c > - b

a >b - a < - b.