5. Основные функции распределения.

Функцией распределения F(x) случайной величины X называют F(x) = Р(P х). Ясно, что функция F(x) монотонно возрастает с ростом х (точнее сказать, не убывает, потому что могут существовать участки, на которых она постоянна). У дискретной случайной величины функция распреде­ления ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны. Это точки разрыва F(x).

Биномиальное распределение —возникает в тех слу­чаях, когда нас интересует, сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.

Биноминальным называется закон распределения дискретной случайной величины X – число появлений события А в n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события A равна p, если вероятность P(X = k) появления события A равно k раз вычисляется по Формуле Бернулли:

Говорят, что дискретная случайная величина X – число появления события А в n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равно p, распределения по закону Пауссона, если число n очень велико, p очень мало и вероятность P(X = k) появления события A равно k раз вычисляется по Формуле Пауссона:

, где  = np.

Нормальное распределение используется для приближенного описания многих случайных явлений, например, для случайного отступления фактического размера изделия от номинально­го, рассеяния снарядов при артиллерийской стрельбе и во многих дру­гих ситуациях, в которых на интересующий нас результат воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

Случайная величина X имеет нормальное распре­деление вероятностей с параметрами а и σ2 (краткое обозначе­ние: X ~ N(a, σ2)), если ее плотность распределения задается формулой:

- ∞ < x<∞.

Распределение хи-квадрат. . Пусть случайные величины X₁,X₂,…,Xn — незави­симы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Говорят, что случайная величина χ_n², определенная как: имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы.Для обозначе­ния этого распределения также обычно используется выражение χ_n²

F-pacnpeделение Пусть Y₁,…,Y_n; X₁,…,X_n (где m, n — натураль­ные числа) обозначают независимые случайные величины, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону N(0, 1). Говорят, что случайная величина F, определенная как

имеет F-распределение с параметрами шип. Натуральные числа m, n называют числами степеней свободы.

6. Оценки статистических характеристик и их желательные свойства. (нету)

7. Проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза — это предположение о распределении вероятностей, которое мы хотим проверить по имеющимся данным.

Лучше всего, если гипотезу можно проверить непосредственно, — тогда не возникает никаких методических проблем. Но если прямого способа проверки у нас нет, приходится прибегать к проверкам косвенным. Это значит, что приходится довольствоваться проверкой некото­рых следствий, которые логически вытекают из содержания гипотезы. Если некоторое явление логически неизбежно следует из гипотезы, но в природе не наблюдается, то это значит, что гипотеза неверна. С другой стороны, если происходит то, что при гипотезе происходить не должно, это тоже означает ложность гипотезы, но подтвер­ждение следствия еще не означает справедливости гипотезы, поскольку правильное заключение может вытекать и из неверной предпосылки. Поэтому, строго говоря, косвенным образом доказать гипотезу нельзя, хотя опровергнуть — можно.

Для проверки естественнонаучных гипотез часто применяется такой принцип: гипотезу отвергают, если происходит то, что при ее справед­ливости происходить не должно. Сопоставление выдвинутой гипотезы с экспериментальными данными называется проверкой гипотезы.

Схема проверки гипотезы:

1. Сформировать нулевую гипотезу и конкурирующую гипотезу на основе начального анализа экспериментальных данных;

2. Выбрать некоторую вероятность  в качестве уровня значимости нулевой гипотезы ;

3. Подобрать по выборочным данным случайную величину Z, распределение которой называется критерием для проверки гипотезы ;

4. Определить границы критической области для проведения нулевой гипотезы с уровнем значимости ;

5. Вычислить по данным выборки некоторое число, обозначаемое и называемое наблюдаемым значением случайной величины Z. Проверить, попадает ли оно в критическую область нулевой гипотезы. Если – да, то считают, что нет основания отвергать нулевую гипотезу и ее принимают. Если – нет, то гипотезу отвергают и принимают гипотезу .

Замечание. Если гипотеза принята, то не стоит думать, что она доказана. На практике для большей уверенности в правильности принятого решения гипотезу проверяют еще раз, повторяя эксперимент, увеличив объем выборки.