- •Эконометрическая модель.
- •Измерения в экономике. Шкалы измерений.
- •Случайные события и случайные переменные. Распределение случайных величин.
- •Статистические характеристики случайных величин и их свойства.
- •Основные функции распределения.
- •Оценки статистических характеристик и их желательные свойства. (нету)
- •Проверка статистических гипотез.
- •Критерий и критическая область.
- •Мощность статистического критерия. Уровень значимости.
- •Модель линейной регрессии.
- •Свойства оценок параметров, полученных методом наименьших квадратов. Условия Гаусса – Маркова.
- •Коэффициент детерминации и его свойства.
- •Предположение о нормальном распределении случайной ошибки в рамках классической линейной регрессии и его следствия.
- •Прогнозирование по регрессионной модели и его точность. Доверительные и интервалы прогноза (с лекции)
- •Ковариационная матрица оценок коэффициентов регрессии.
- •19. Проверка значимости коэффициентов и адекватности регрессии для множественной линейной регрессионной модели.
- •20. Коэффициент множественной детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации.
- •21. Проблемы спецификации регрессионной модели. Пошаговая регрессия.
- •22. Замещающие переменные. Фиктивные переменные.
- •Методы борьбы с мультиколлинеарностью.
- •Линеаризация регрессионных моделей путем логарифмических преобразований.
Модель линейной регрессии.
Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.
Функцией регрессии называется зависимость среднего значения одной из коррелированных случайных величин от другой, то есть функция: y = (x) (регрессия Y на X) или x = (y) (регрессия X на Y).
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида = a + b x или y = a + b x + . Это уравнение позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака подстановки в него фактических значений фактора x.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратиться к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию, затем по графику найти значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью oy, а параметр b оценим исходя из угла наклона линии регрессии как dy/dx, где dy – приращение результата y, a dx – приращение фактора x, т.е. = a + b x
11-12. Оценивание параметров регрессии. Метод наименьших квадратов.
Система уравнений МНК, её решение.
Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК - это особая форма случайной величины, свойства которой зависят от свойств остаточного члена в уравнении.
МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) минимальна: .
Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:
Для того чтобы найти минимум функции надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять к нулю.
Обозначим через S, тогда:
Преобразую формулу, получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b:
(система нормальных уравнений)
Решая систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими формулами для a и b:
a = y - bx.
Эта формула получена из первого уравнения системы, если все его члены разделены на n: , где cov(x,y) – ковариация признаков; «знаменатель» - дисперсия признака x.
Поскольку , получим следующую формулу расчета оценки параметров b:
Эта формула получается также при решении системы методом определителей, если все элементы расчета разделить на .Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.Знак при коэффициенте регрессии b показывает направление связи: при b > 0 – связь прямая, а при b < 0 – связь обратная.