13. Предположение о нормальном распределении случайной ошибки в рамках классической линейной регрессии и его следствия.

Предложение об ошибках в классической модели формируются наиболее жестким и не всегда реалистичным путем:

Предполагается, что ошибка ( ( = 1 … N)) образует так называемый слабый белый шум – последовательность центрированных ( ) и не коррелированных случайных величин с одинаковыми дисперсиями

Свойство центрированности практически не является ограничением, так как при наличии постоянного регрессора среднее значение ошибки можно было бы включить в соответствующий коэффициент ( )В ряде случаев сделанные предложения об ошибках будут дополняться свойствами нормальности – случайный вектор  имеет нормальное распределение. Эту модель мы будем называть классической моделью с нормально распределительными ошибками.

Многомерное нормальное распределение задается своим вектором и матрицей ковариации – здесь она имеет вид , где 1 – единичная матрица. Если компоненты вектора корелированы, следовательно, автоматически независимы, следовательно, ошибки в модели образуют последовательность независимых одинаково нормально распределенных случайных величин N (0; ).Если каждая из величин нормально распределена, то вектор , из них составленный, ну обязан быть нормально распределенным.

13. Доверительные интервалы оценок параметров и проверка гипотез об их значимости.

Доверительные интервалы параметров регрессии определяются следующим образом.

Здесь t_d - значение t-статистики для выбранного уровня значимости d. Величина p=1-d называется доверительной вероятностью или уровнем надежности, нередко выражаемым в процентах. Это показатель, характеризует вероятность того, что теоретическое значение параметра регрессии будет находиться в полученном доверительном интервале.

С лекции: =b0 – b1*X1 – это случайные величины, поэтому необходимо найти доверительные интервалы для истинных значений b0 и b1.

Bi принадлежит (bi +- дельта bi), где дельта bi = Sbi*tкрит

B0 принадлежит ( b0 +- Sb0 * t крит)

B1 принадлжет (b1 +- Sb1 * t крит)

13. Прогнозирование по регрессионной модели и его точность. Доверительные и интервалы прогноза (с лекции)

 Мы получили регрессионную математическую модель и можем прогнозировать процесс путем вычислений. Основным   фактором   в   прогнозировании   чаще   всего   оказывается   трендовая компонента. Он особен давать достаточно надежные прогнозы и на 4-5 шагов,следовательно,идёт расчет оценок среднесрочных и долгосрочных прогнозов.

Линейный метод наименьших квадратов позволяет по серии наблюдений Xi и Yi установить параметры линейного уравнения вида где Yc,i – расчетное значение отклика при заданном моменте времени Xi, а b0 и b1 - параметры линейной модели.

Для оценки(проверки) прогноза возможны след способы: 1)По реальным прогнозируемым данным. 2)Построение точечного и интервального прогноза.

P (прогноз) = b0+b1*Xp

Дельта (предельная ошибка) = t критич * S р

Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде: где n - длина временного ряда; L -период упреждения; yn+L -точечный прогноз на момент n+L; ta- значение t-статистики Стьюдента; Sp- средняя квадратическая ошибка прогноза. Предположим, что тренд характеризуется прямой: Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность.

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

 где yt- фактические значения уровней ряда,