Случайная выборка. Дискретный вариационный ряд. Полигон частот и частостей. …

Пусть имеется n независимых наблюдений одной и той же случайной величины Х, которую обозначим х1,х2,…,хn. Эти значения образуют выборку объёма n. Все возможные значения случайных величин Х будут называться генеральной совокупностью. Т.к. мы не можем предугодать заранее какое значение примет случайная величина Х в каждом из наблюдений, то эта выборка называется случайной. И другая выборка такого же Х, составленная из независимых значений этой же случайной величины может отличатся по значениям или их порядку от этой выборки.

Пример: пусть измерен рост 10-ти студентов: 184, 176, 173, 173, 178, 178, 176,198,180,165 n=10. Если расположить выборочные значения в порядке возрастания, то получим ранжированный вариационный ряд: 165, 173, 173, 176,176,178,178,180,184,198. Если занести в таблицу значения ранжированного ряда наблюдений не повторяя значений и указывая во второй строке сколько раз указывается значение в выборке, то получим таблицу называемую дискретным вариационным рядом построенная по выборке объёма n или ещё её называют таблицей распределения выборочных значений

xi	165		173		176		178
ni	1		2		2		2
180		184		198		∑
1		1		1		N=10

Выборочное значение в верхней строчке таблицы называется вариантами выборки. Число повторений каждой варианты в выборке называют её частотой ∑ всех частот = V выборки. Если поделить каждую частоту на V выборки, то получим относительные частоты или частности wi=ni/n│0,1│0,2│… . Графическое изображение дискретного вариационного ряда называется полигоном частот или частостей. Для построения полигона частот откладывают на координатной плоскости точки координатами (x1,n1),(x2,n2),…,(xk,nk), где x1,…,xk варианты дискретного вариационного ряда n1,…,nk частоты этих вариантов. Полученные точки последовательно соединяются отрезками ломаной. Для построения полигона частностей откладываются на координатной плоскости точки с координатами (x1,w1),…,(xk,wk) и затем получаем точки соединяем отрезками ломаной. Оба полигона можно изобразить на одном графике. Если на вертикальной оси с одной стороны нанести масштаб для частот, а другой для частностей (они совподают)

рис

Выборочной функцией распределения дискретного вариационного ряда совпадают с функцией распределения дискретной случайной величины всевозможные значения которой совпадает с вариантами данного дискретного вариационного ряда и вероятности совпадают с частностями этих вариантов. Запишем эмпирическую функцию распределения:

F10(x)=система от(0,x<=165; 0.1,165<x<=173; 0.3,173<x<=176; 0.5,176<x<=178; 0.7,178<x<=180; 0.8,180<x<=184; 0.9,184<x<=198; 1,x>198

Выборочное среднее дискретного вариационного ряда используется в качестве оценки неизвестного математического ожидания случайной величин х.

x=1/n*∑(i=1 до k) от xi*ni=∑(i=1 до k) xi*wi. Получим число называемое точечной оценкой неизвестного математического ожидания случайной величины х:x(с чертой в верху)= 1/n·[165·1+173·2+…+198·1]=1781/10=178,1. Выборочная дисперсия для дискретного вариационного ряда

σ²выб=1/n*∑(i=1 до k) от (xi-x(с чертой))²*ni, σ²выб=(1/n*∑(i=1 до k) от x²i)-(x(с чертой))².

σ выб = корень из (σ²выб) – выборочное среднеквадратическое отклонение.