III Практическая часть

3.1. Расчет цилиндрической прямозубой передачи на контактную прочность.

Расчет прочности контактирующих поверхностей зубьев основан на ограничении наибольших нормальных напряжений.

При выводе формул приняты следующие допущения: зубья рассматривают как два находящихся в контакте цилиндра с параллельными образующими (радиусы этих цилиндров принимают равными радиусам кривизны профилей зубьев в полюсе зацепления); нагрузку считают равномерно распределенной по длине зуба; контактирующие профили предполагают нераздельными масляной пленкой.

На основании этих допущений к расчету зубчатых колес можно применить результаты исследований на контактную прочность цилиндрических роликов. Наибольшие нормальные контактные напряжения возникают в точках, лежащих на очень малой глубине под линией контакта по формуле Герца – Беляева: №1

_____qEпр_____

σ _н = p_пр 2π (1 – μ²) (1)

где q – расчетная удельная нормальная нагрузка; Eпр – приведенный модуль упругости материалов зубьев; pпр – приведенный радиус кривизны профилей зубьев шестерни и колеса; u – коэффициент Пуассона.

Для прямозубых колес с учетом коэффициентов нагрузки q = Fn /ℓ_E

где Fn = Ft / cos αw – нормальная сила, действующая на зуб; Ft – окружная сила; 1Σ = bwKέEα – суммарная длина контактной линии ( для прямозубых передач 1Σ = bw – ширина венца, так как Kέέa = 1,0; здесь Kέ = 0,95 – коэффициент, учитывающий непостоянство суммарной длины контактной линии).

Для учета неравномерности распределения нагрузки по длине контактных линий, а также для учета динамических нагрузок вследствие погрешности изготовления и деформации деталей передачи вводят коэффициент нагрузки K = KнβKнv . №2

Отсюда

F + Kнβ Kнv

q = bwKέEα cos αw (2)

Приведенный модуль упругости Епр = 2Е1Е2 /(Е1 + Е2), где Е1 и Е2 – модули упругости материалов шестерни и колеса.

Зубья рассматриваются как цилиндры длинной bw (ширина зубчатого колеса) и радиусов p1 и p2, где

p₁ = d₁ / 2 * sinα p₂ = d₂ / 2 * sinα

Приведенный радиус кривизны зубьев в полюсе

р₁ p₂ d₁ d₂ sinα_w d₁ sinα_w U

р_пр = р₁ + p₂ = 2 (d₁ + d₂) = 2 U+1 (3)

Здесь знак «полюс» для внешнего зацепления, знак «минус» - для внутреннего зацепления.

Подставляя значения pпр и q в формулу №1 и заменив sin aw = 0,5 sin 2αw, получим №4

2 Eпр_____ 2F₁ Kнβ Kнv (U+1)

σ _н = √ sin2α_w 2π (1 – μ²) bwd₁KέEα cos αw (4)

Означим в формуле №4 выражение через zн – коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев;

Eпр

π (1 – μ²) = Zм – коэффициент, учитывающий механические свойства материалов сопряженных колес (Zм = 275 МПа ½ - для стальных колес);

1

K_EEα = Zέ – коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий (Zέ = 1 для прямозубых передач), получим расчетную формулу №4, рекомендуемую для проверочного расчета: №5

F₁ (U+1)

σ _н = z_H z _M z _E √ bwd₁ 4 _* Kнβ Kнv (5)

После подстановки значений Ft = 2М2d1u; d1 = 2aw /(u + 1) и bw = ψbaaw в формулу №5 и некоторых преобразований получим удобную для расчета формулу №6

0,5М ₂ (U +1)³

σ _н = z_H z _M z _E √ ψba a 3w U² Kнβ Kнv ≤ (σ) н (6)

Значение ψba определяют по формуле ψba = 2ψbd /(u + 1).

После некоторых преобразований формулы №5 получим формулу проектного расчета для определения межосевого расстояния прямозубых зубчатых передач: