ВАРИАНТ № 1
задания для экзамена
1.Теорема Ролля;
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения ƒ(а)=ƒ(b), то найдется хотя бы одна точка сє(а;b), в которой производная ƒ'(х) обращается в нуль, т. е. ƒ'(с)=0.
▼ Так как функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, М и m. Если М=m, то функция ƒ(х) постоянна на [a;b] и, следовательно, ее производная ƒ'(х)=0 в любой точке отрезка [a;b].
Если М m, то функция достигает хотя бы одно из значений М или m во внутренней точке с интервала (a;b), так как ƒ(a)=ƒ(b).
Пусть, например, функция принимает значение М в точке х=сє(a;b), т. е. ƒ(с)=М. Тогда для всех хє(a;b) выполняется соотношение
ƒ(с)≥ƒ(х). (25.1)
Найдем производную ƒ'(х) в точке х=с:
В силу условия (25.1) верно неравенство ƒ(с+∆х)—ƒ(с)≤0. Если ∆х>0 (т. е. ∆х→0 справа от точки х=с), то
и
поэтому ƒ'(с)≤0.
Если ∆х<0, то
и
ƒ'(с)≥0.
Таким образом, ƒ'(с)=0
В случае, когда ƒ(с)=m, доказательство аналогичное ▲
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у=ƒ(х) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.
2.Достаточные условия существования экстремума функции двух переменных;
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f''xx(x0;y0), В=ƒ''xy(х0;у0), С=ƒ''уy(х0;у0). Обозначим
Тогда:
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
3.Понятие неопределенного интеграла.
29. 1.Понятие неопределенного интеграла
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции ƒ(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F'(x)=ƒ(х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции ƒ(х) .
Функция F(x) называется первообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство
F'(x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).
Например,
первообразной функции у=х2,
х є R, является функция 
,
так как
Очевидно, что первообразными Будут также любые функции
где С - постоянная, поскольку
Tеоpeмa 29. 1. Если функция F(x) является первообразной функции ƒ(х) на (а;b), то множество всех первообразных для ƒ(х) задается формулой F(x)+С, где С - постоянное число.
▲Функция F(x)+С является первообразной ƒ(х).
Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=ƒ(x).
Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции ƒ(х) , т. е. Ф'(x)=ƒ(х). Тогда для любого х є (а;b) имеем
А это означает (см. следствие 25. 1), что
Ф(x)-F(x)=C,
где С - постоянное число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+С. ▼
Множество всех пepвoобpaзныx функций F(x)+С для ƒ(х) называетсянеопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом ∫ƒ(х) dx.
Таким
образом, по определению
∫ƒ(x)dx= F(x)+C.
Здесь ƒ(х) называетсяподынтегральнoй функцией, ƒ(x)dx — подынтегральным выражением,х - переменной интегрирования, ∫ -знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+C (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 166). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.
Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?
Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (а;b) функция имеет на этом промежутке первообразную», а следoвaтельно, и неопределенный интеграл.
ВАРИАНТ № 2
задания для экзамена