- •1.Теорема Ролля;
- •2.Достаточные условия существования экстремума функции двух переменных;
- •3.Понятие неопределенного интеграла.
- •29. 1.Понятие неопределенного интеграла
- •1.Теорема Лагранжа;
- •2.Необходимые условия существования экстремума двух переменных;
- •3.Интегрирование простейших дробей.
- •1.Дифференциалы высших порядков функции двух переменных;
- •2.Выпуклость графика функции;
- •25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •3.Интеграл типа
- •1.Дифференцирование неявной функции;
- •2.Возрастание и убывание функции;
- •25.3. Возрастание и убывание функций
- •3.Интегралы типа
1.Дифференцирование неявной функции;
44.8. Дифференцирование неявной функции
Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением
неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
откуда
Замечания.
а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х2+у2+z2-4=0 определяет функции определенные в круге х2+у2≤4, определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.
Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x0;y0;z0), причем F(x0;y0;z0)=0, а F'z(x0;y0;z0)≠0, то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х0;у0) и такую, что ƒ(х0;у0)=z0.
б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле
2.Возрастание и убывание функции;
25.3. Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция ƒ(х) возрастает (убывает), то ƒ'(х)≥0 (ƒ"(х)≤0) для x є (a;b).
Пусть функция ƒ(х) возрастает на интервале (α;b). Возьмем произвольные точки х и х+∆х на интервале (α;b) и рассмотрим отношение
Функция ƒ(х) возрастает, поэтому если ∆х>0, то х+∆х>х и ƒ(х+∆х)>ƒ(х); если ∆х<0, то х+∆х<х и ƒ(х+∆х)<ƒ(х). В обоих случаях
так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки.
По условию теоремы функция ƒ(х) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,
Аналогично рассматривается случай, когда функция ƒ (х) убывает на интервале (a;b).
Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой х0) параллельны оси Ох.
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)<0) для x є (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).
Пусть ƒ'(х)>0. Возьмем точки х1 и х2 из интервала (a;b), причем x1<х2. Применим к отрезку [x1;x2] теорему Лагранжа: ƒ(х2)- ƒ(x1)=ƒ'(с)(х2-x1), где с є (x1;x2). По условию ƒ'(с)>0, х2-х1>0. Следовательно, ƒ(х2)-ƒ(х1)>0 или ƒ(х2)>ƒ(х1), т. е. функция ƒ(х) на интервале (a;b) возрастает.
Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 102).