1.Дифференциалы высших порядков функции двух переменных;

44.2. Частные производные высших порядков

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так,  и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

 

2.Выпуклость графика функции;

25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции у=ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке 154 кривая у=ƒ(х) выпукла вверх в интервале (а;с), выпукла вниз в интервале (с;b), точка М(с;ƒ(с)) — точка перегиба.

                                                                                                          

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 25.11. Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 xє(а;b) — график выпуклый вниз.

▲Пусть ƒ"(х)<0  xє(а;b). Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой х₀є(а;b) и проведем через М касательную (см. рис. 155).

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке хє(а; b) ординату у кривой у=ƒ(х) с ординатой у_кас ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть

У_кас-ƒ(х₀)=ƒ'(х₀)(х-х₀),      т.е.      У_кас=ƒ(х₀)+f(x₀)(x-х₀).

Тогда у-у_кас=ƒ(х)-ƒ(х₀)-ƒ'(х₀)(х-х₀). По теореме Лагранжа, ƒ(х)-ƒ(х₀)=ƒ'(с)(х-x₀), где с лежит между х₀ и х. Поэтому

У-У_кас=ƒ'(с)(х-х₀)-ƒ'(х₀)(х-х₀),

т. е.

У-У_кас=(ƒ'(с)-ƒ'(х₀))(х-х₀).

Разность ƒ'(с)-ƒ'(х₀) снова преобразуем по формуле Лагранжа:

ƒ'(с)-ƒ'(х₀)=ƒ"(с₁)(с-х₀),

где с₁ лежит между х₀ и с. Таким образом, получаем

У-У_кас=f"(c₁)(c-х₀)(х-х₀).

Исследуем это равенство:

1)  если х>х₀, то х-х₀>0, с-х₀>0 и f"(c₁)<0. Следовательно, У-У_кас<0, т. е. у<у_кас:   

2)  если х<х₀, то х-х₀<0, с-х₀<0 и f"(c₁)<0. Следовательно, У-У_кас<0, т. е. у<у_кас:   

Итак, доказано, что во всех точках интервала (а;b) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при ƒ"(х)>0 график выпуклый вниз. ▼

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

3.Интеграл типа

• 32.2. Интегралы типа ∫sin^mх•cosⁿx dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1)  подстановка sinx=t, если n - целое положительное нечетное число;

2)  подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число;

3)  формулы   понижения   порядка:   cos²x=1/2(1+cos2x), sin²x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип - целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка tg х=t, если m+n - есть четное отрицательное целое число.

ВАРИАНТ № 4

задания для экзамена