Вопрос 2

Корреляционная матрица

Начальный этап многомерного корреляционного анализа количественных признаков состоит в оценке (приближении) на основе выборочных данных матрицы

,

элементы которой

- парные коэффициенты корреляции переменных

.

Выборочная корреляционная матрица.

В качестве статистического аналога

корреляционной матрицы

принимается матрица

,

десь

- выборочные парные коэффициенты корреляции переменных

.

Свойство корреляционных матриц

Матрицы , q_h симметричны относительно главной диагонали.

Вся имеющаяся для анализа статистическая информация о зависимостях между случайными величинами содержится в выборочной корреляционной матрице .

Однако раскрытие многообразия взаимосвязей данных переменных непосредственно по их парным коэффициентам корреляции невозможно. Для проведения исследования при решении указанных типовых задач необходимо вычислять также частные и множественные коэффициенты корреляции, представляющие собой определенные действительные функции матрицы .

Билет 24

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема  умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых  событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых событияА появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)ⁿ

Билет24. Критерий согласия (х-квадрат)

Критерий согласия   разработан лучше других критериев и чаще других используется. Он основан на сравнении эмпирических частот интервалов группировки с теоретическими (ожидаемыми) частотами, рассчитываемыми по формулам нормального распределения.

Условия применения: объем выборки n _≥ 40, выборочные данные сгруппированы в интервальный вариационный ряд с числом интервалов не менее 7, ожидаемые (теоретические) частоты интервалов не должны быть меньше 5.

Гипотеза Н₀:  это плотность распределения _fx генеральной совокупности, из которой взята выборка, соответствует теоретической модели   нормального распределения.

Альтернатива Н₁:  .

Уровень значимости: a.

Порядок, применения:

1. Формулируется гипотеза, выбирается уровень значимости a.

2. Получается выборка объема n_≥40 независимых наблюдений и представляется эмпирическое распределение в виде интервального вариационного ряда.

3. Рассчитываются выборочные характеристики   и S. Их используют в качестве генеральных параметров  µ и _σ нормального распределения, с которым предстоит сравнить эмпирическое распределение.

4. Вычисляются значения теоретических частот   попадания в i-й интервал группировки. Для этого необходимо вычислить:

                                                                                        (6.4)

где Ф₀(u) — функции Лапласа, x_вi и х_нi — верхняя и нижняя границы i-го интервала группировки.

Если окажется, что вычисленные ожидаемые частоты   некоторых интервалов группировки меньше 5, то соседние интервалы объединяются так, чтобы сумма их ожидаемых частот была больше или равна 5. Соответственно складываются и эмпирические частоты объединяемых интервалов.

5. Значение  -критерия рассчитывается по формуле:

                                                                                                                 (6.5)

где n_i — эмпирические частоты;   – ожидаемые (теоретические) частоты; k — число интервалов группировки после объединения.

6. Из таблиц распределения   находится критическое значение   критерия для уровня значимости а и числа степеней свободы n=n–3.

7.Вывод:если   тоэмпирическое распределение не соответствует нормальному распределению на уровне значимости a, в противном случае нет оснований отрицать это соответствие.