1.Фнп. Основные понятия. Предел и непрерывность фнп.
Если каждой
упорядоченной совокупности значений
переменных х1, х2,..., хп соответствует
определенное значение переменной z,
то будем называть z ФНП х1, 2,..., пх х
и записывать z = f (x1, x2,..., xn) . В случае
n = 2: z = f (x, y) ; Совокупность наборов
(х1, х2, ..., хп) (точек ℝn
) при которых определяется функция
z = f (x1, x2, ..., xn) называется областью
определения. Область определения
функции двух переменных- некоторое
множество точек плоскости. Геом.
изображением или графиком функции
двух переменных z = f (x, y) - множество
точек пространства (х, у, f (x, y)),
определяющее, поверхность в системе
координат Oxyz . Линией уровня функции
z = f (x, y)-множество точек плоскости Oxy ,
для которых данная функция имеет одно
и то же значение (изокривая). Поверхностью
уровня функции u = f (x, y,z) - множество
точек пространства ℝ3,
для которых данная функция имеет
одно и то же значение (изоповерхность).
Окрестностью радиуса r точки М0(х0, у0)
- совокупность всех точек M (х, у)
удовлетворяющих неравенств
Число
A
называется пределом функции z = f (x, y) при стремлении точки М (х, у) к точке М0(х0, у0) (или при х → х0, →уу 0 ), если для ∀ε > 0 ∃r > 0, такое, что для всех точек М (х, у) , удовлетворяющих условию d(M,M0) < r. Функция z = f (x, y) наз. непрерывной в точке (x0, y0) , если она: 1) определена в точке (x0, y0) ; 2) имеет конечный предел при x → x0, y → y0; 3) предел равен значению функции в точке.
Функция z=f(x,y) наз. Непрерывной в области D, если функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области.
2. Частные производные фнп, их геом. Смысл. Частные производные высших порядков.
ЧПФ нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении приращения переменной к нулю (если этот предел существует).Геом. изображением функции z = f (x, y) является некоторая поверхность P. Полагая, у = const, получим некоторую плоскую кривую.
Поскольку при нах. ЧП по переменной х, у-фиксирован., получаем равенство: tgα=∂z/∂x(x0,y0), =∂z/∂x(x0,y0)=tgβ. ЧП является функциями от 2 переменных. Можно найти производные от этих функций, они наз. ЧП 2 порядка.
3.Дифф-сть фнп. Необходимые условия дифф-ти. Достаточное условие дифф-ти.
Функция z = f (x, y) наз. дифф-ой в точке М0(х0, у0) если ее полное приращение в этой точке. Если функция z = f (x, y) дифф-ема в точке М0( х0, у0) , то она непрерывна в этой точке. Необх. условия дифф-сти: Если функция z=f(x,y) дифф-ма в М0(х0,у0), то она имеет в этой точке ЧП f’х(x0,y0) и f’у(x0,y0), причем f’х(x0,y0)=А, f’у(x0,y0)=В. Достаточное условие дифф-сти: если функция z = f (x, y) имеет частные производные в некоторой r-окрестности точки М0(х0, у0), непрерывные в самой точке М0(х0, у0), то функция дифференцируема в этой точке.