32. Ду с разделяющимися и разделен. Переменными.

ДУ вида M (x) dx + N ( y) dy = 0 называют уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл уравнения есть ∫М(х)dx + ∫N(y)dy = C. ДУ вида M₁ (x) N₁ ( y) dх + M₂ (x) N₂ ( y) dу = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение вида y’=f(x) и y’=f(y) сводятся к уравнениям с разделяющими переменными с помощью замены.

33. Однородные ду первого порядка.

Функция f (x, y) называется однородной функцией n-ного измерения относительно переменных x и y , если при любом λ > 0 справедливо тождество f(λx, λy ) = λⁿf(x,y). Уравнение первого порядка dy/dx=f(x,y) называется однородным относительно x и y , если функция f (x, y) есть

однородная функция нулевого измерения относительно x и y . Уравнение вида M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0 будет однородным тогда и только тогда, когда функции M (x, y) и N(x, y) – однородные функции одного и того же измерения; f(x,y) – однородное ур-е нулевого порядка однор-ти, если для любого λ выполняется равенство f(λx, λy)=f(x,y).

34. Линейные ду первого порядка. Метод Бернулли.

ЛДУ первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

dy/dx + p(x)y = q(x), где p(x) и q(x) – заданные непрерывные функции от x или постоянные. Для решения исп-тся м-д Бернулли, пояснение на примере:

y’ + y = 3x – ЛДУ-1; Введем подстановку y(x)=4(x), где u,v-неизвестные ф-ции. y’(x)=(u(x)*v(x))’=u’*v+u*v’; u’*v+u*v’+ *u*v=3x;(1) v(u’+ *u)+u*v’=3x. Найдем ф-цию, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. u’+ *u=0; u(x)=x^-1; подставим найденное значение в ур-е 1. *v’=3x; v(x)=x³+C; y(x)= *x³+C.

35. Лоду 2 порядка с постоянными коэффициентами.

y′′ + py′ + qy = 0, где p, q – действительные числа. Если y1, y2 – два решения однородного уравнения, то y1 + y2, C1y1, C2y2 – также решения этого уравнения. Два решения уравнения называются линейно независимыми на отрезке [a,b], если y₂/у₁↑const В противном случае они называются линейно зависимыми ( y2 = λy1). Если y1, y2 два линейно независимых решения уравнения, то y = C1y1 + C2y2 – его общее решение. k 2 + pk + q = 0 – характ. уравнение дискриминанта. Случаи если: Д>0, λ_1≠λ₂ R; у_ч.р.(х) = ; у_ч.р.2(х) = ; у_о.о(х)=С₁у₁(х) + С₂у₂(х), у_о.о(х)=С₁ + С₂ ; если Д=0, то λ₁₌λ₂=λ ε R; у_ч.р.1(х) = ; у_ч.р.2(х) = ; у_о.о(х)= С₁ + С₂ ; если Д<0, то решение характ. ур-ия составляют два комплексно-сопряженных корня; λ₁=α + iβ; λ₂= α – iβ, i= (мнимая единица); у_ч.р.1(х) = ; у_ч.р.2(х) = ; у_о.о(х)= С₁ + С₂ С_1,2 ε R.

36. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец. Правой частью.

Общее решение ЛДУ y′′ + py′ + qy = f (x) , где p, q – действительные числа, имеет вид у=у’+у*, где y’ – общее решение соответствующего однородного уравнения, y∗ – одно из частных решений неоднородного уравнения.

Для ур-ия справедлива ф-ла: у_о.н.= у_о.о(х) + у_ч.н.(х). В различных приложениях правая часть f (x) уравнения во

многих случаях имеет специальный вид. В общем случае:

f (x) = eax (Pr (x)cos bx + Qs (x)sin bx). Частные случаи:

f (x) = Pr (x ) ( a= 0, b=0); f (x) = Pr (x)e^ax b = 0

37. Опр-ие числовых рядов. Сходящиеся ряды, их св-ва.

a₁ + a₂ +…+a_n…=∑a_n(1) – сумма элементов от 1 до ∞. Это выражение называется числовым рядом или просто рядом, числа a1, a2,…, an,… – членами ряда, an – общим (n -ным) членом ряда. n -ой частичной суммой Sn ряда называется сумма конечного числа n первых членов ряда. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к некоторому числу S, которое называется суммой ряда. Если существует конечный предел S_n=S, то ряд называется сходящимся и ∑a_n=S. Если не существует конечного предела S_n, то ряд называется расходящимся. Cв-ва: ряд и любой его остаток одновременно сходятся или расходятся. Сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить конечное число членов ряда. При этом значение суммы сходящегося ряда может измениться. Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы lim n→∞ r_n = 0; Произведением ряда на число С называется ряд: Ca₁ + Ca₂ +…+ Ca_n…= ∑Ca_n(2); Если ряд (1) сходится и его сумма равна S , то и ряд (2) также сходится и его сумма равна CS. Алгебраической суммой ряда (1) и ряда b₁ + b₂ +…+b_n…=∑b_n(3) называется ряд: (a₁ +/- b₁) + (a₂ +/-b₂)+…+(a_n+/-b_n)…=∑ (a_n+/-b_n)(4); Если ряды (1) и (3) сходятся, и их суммы равны соответственно Sa и Sb, то и ряд (4) сходится и его сумма равна S^a±S^b . Cходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать.