4. Полный дифференциал фнп и его применение в приближенных вычислениях.

Полным дифф-лом dz дифф-мой в точке М0(х0, у0) функции z = f (x, y) называется главная, линейная относительно приращений ∆х и ∆у , часть полного приращения этой функции в точке М0(х0, у0).Полный дифференциал имеет широкое применение в приближенных вычислениях. Если рассмотреть функцию z = f (x, y) , дифференцируемую в точке М0(х0, у0), то z=f(x₀ + x,y₀ + y) – f(x₀,y₀). Полным дифф-лом второго порядка функции z = f (x, y) называется полный дифф-ал от ее полного дифф-ла. Применения: можно найти с-б приближенного значения неск. переменных. ∂z≈α(∂x, ∂y) + β(∂x, ∂y)

5. Частные производные сложной функции. Полная производная функции

Предположим, что в формуле z=F(u, v), переменные u и v являются непрерывными функциями независимых переменных x и y : u =ϕ ( x, y ) и v = ψ(x, y). В этом случае функция z = F(u,v) является сложной ф-ей аргументов x, y.

Формула д/выч. произв. сложной ф-ции от 1 переменной: df/dx=dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dv*dv/dx.

Функция от 2 переменных: z=f(u(x,y),v(x,y)). ЧП сложной ф-ции 2 переменных: dz/dx=dz/du*du/dx + dz/dv*dv/dx. Пусть исходная функция имеет вид z = F(x, y,u,v), где y, u и v зависят от одной переменной x : y = f (x), u = ϕ(x) , v = ψ(x). Тогда, по сути, функция z является функцией только одной переменной x и можно ставить вопрос о нахождении производной dz/dx, которая называется полной производной функции z.

6. Производная от функции, заданной неявно.

Пусть непрерывная функция y от x задается уравнением F (x ,y ) = 0 и F(x, y) , Fx′(x, y) , Fy′(x, y) – непрерывные функции в некоторой области D , содержащей точку M (x, y) , координаты которой удовлетворяют уравнению, причем Fy′(x, y) ≠ 0. Тогда функция y от x будет иметь производную y’_x = – . Функция y=y(x), задана неявно, если зависимость между х и у, задана в виде ур-ия f(x,y)=0. Пусть z=z(x,y) записана неявно, выражается в неявном виде f(x,y,z)=0, тогда ЧП z по х,у: ∂z/∂x=-∂f/∂x/df/dz и ∂f/∂y=-∂f/∂y/df/dz.

7.Градиент фнп и его основные свойства.

Говорят, что в области D определено скалярное поле, если для каждой точки М (х, у,z)∈D задано некоторое число (скаляр), т.е. u= f(x, y, z )= f (M). функция u = f (x, y,z) – числовая функция точки. Говорят, что в области D определено векторное поле, если для каждой точки М (х, у,z)∈ D задан некоторый вектор, т.е.

Градиент u=u(x,y,z) – векторное поле, задаваемое вектором grad и ∂u/∂x;du/dy; ∂u/∂z= ∂u/∂x*вектор i+du/dy*вектор j+ ∂u/∂z*вектор k. Св-ва: градиент показывает направление наиб. изменения ф-ции; длина вектора градиента показывает наиб. скорость изменения ф-ции; производная по направлению, перепенд. вектору градиента, будет равна нулю.

8.Необх. И дост. Условия лок. Экс. Ф-ции 2 переменных.

Функция z = f (x, y) имеет локальный максимум (минимум) в точке M0(x0, y0), если существует r −окрестность данной точки, такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f (x0, y0) > f (x, y) ( f (x0, y0) < f (x, y) ). необходимые условия экстремума: если функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке M0(x0, y0), то каждая ЧП первого порядка данной функции или обращается в этой точке в нуль, или не существует. Так же, как и в случае функции одной переменной, точки, в которых ЧП обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками функции z = f (x, y) . достаточные условия экстремума: пусть функция z = f (x, y) определена и имеет непрерывные ЧП второго порядка в некоторой области D . Пусть точка M0( х 0, у0) ∈D – критическая точка функции z = f (x, y) .

9. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области.

Наиб. или наим. значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции в этой области. Абсолютный экстремум непрерывной функции z= f(x, y) в области D достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области. Т. Ф-ция, непрерывная в ограниченной обл., достигает своего наиб. и наим. значения.

10. Условный экстремум ФНП. Метод множителей Лагранжа.

Общим м-дом д/решения задач на усл. Экстремум явл. Построение ф-ции Лангранжа от f(x,y,λ)=z(x,y) + λ*φ(x,y).

11. Общие принципы метода наименьших квадратов.

Ф-цией регрессии наз. Ф-ция, графиком которой макс. образом приближен к каорреляцион. полю.

12. Метод наименьших квадратов. Случай линейной зависимости.

13. Метод наименьших квадратов. Случай квадратичной зависимости.

14. Первообразная функции и неопределенный интеграл, их свойства.

Функция F(x) наз. Первообразной для ф-ции y=f(x) на множестве Х, если ф-ция F(x)-дифф-ма на множестве Х и для всех хεХ: F’(x)-f(x). Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f (х) на множестве X , то всюду на этом множестве F1(x) − F2(x) = C. Если F(x) – первообразная для функции f (x) на множестве X , то любая другая первообразная для f (x) имеет вид F (х) + C.Совокупность всех первообразных для функции f (х) на множестве X называется неопределенным интегралом. Свойства 1. d (∫ f (x) dx) = f (x) dx. 2. ∫d(F(x)) = F(x) + C. 3. ∫(f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx. 4. Если k = const ≠ 0, то ∫ k ⋅ f (x) dx = k ⋅ ∫ f (x) dx. 5. ∫dx=1 +С. 6. ∫0*dx=С