1.3.А. Прямой поперечный изгиб
Задача №3 (схема а)
Определить реакции опор балки, поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и М. Найти размеры поперечного сечения. Если известно, что для схемы а используется стальная труба [σ]=120 МПа и α=d/D=0.5, а для схемы б-деревянная прямоугольная балка при [σ]=9 МПа и b/h=0.6. Известны нагрузки F, Мо, q и α.
Таблица 1.3
|
a, м |
F, кН |
M0, кН*м |
q, кН / м |
|
1 |
50 |
40 |
40 |
50
-5 ЭQ(кН)
-45
-85
15
ЭМ(кН·м)
-25
-50
Решение:
1) Определяем для балки реакции опор из условия статического равновесия:
ΣM(Fkx)B = 0;
-RA·2·a - F·a + q·2·a·a - Мо = 0;
кН;
(RA со знаком «-» это значит что сила направлена в противоположную сторону)
ΣM(Fkx)A = 0;
RB ·2·a - F·3·a - q·a·2·a – M0 = 0;
кН
2) Проведем проверку правильности определения реакций опор из условий равновесия статики как суммы сил ΣFy = 0:
RA – F – q·2·a + RB = 0,
- 5 + 135 – 50 - 40·2·1 = 0;
0=0
Условие выполняется, следовательно, реакции опор определены верно.
3) Используя метод сечений, составим выражения для поперечных сил Q и M на каждом участке балки:
Рассечем балку в произвольном сечении на участке I:
QI = F,
QI = 50 кН;
MI = -x1·F, x1Є[0;a];
При x1=0, MI = 0;
При x1=a, MI = -a·F = -50·1= -50 кН·м;
При
х1=
,
MI
= -F·
=
- 50·0.5 = -25 кН·м
Рассечем балку в произвольном сечении на участке II:
QII = -RA - q·(a - x2) x2Є[0;a];
При x2=0, QII = -RA - q·a = - 5 - 40·1= -45 кН;
При x2=a, QII = -RA - q·2·a = - 5 – 40·2·1 = - 85 кН;
MII
=
- RA·(x2+a)
– q·a·(
+x2)+M0
– q·
;
x2Є[0;a];
При
x2=0,
MII
=--
RA·
a – q·a·
+M0
= - 5·1 – 40·0.5 + 40 = 15 кН·м;
При
x2=a/2,
MII
=
- RA·(
+a) – q·a·(
+
)+M0
– q·
= - RA·
·a
+ M0
- q·
·a2
= - 5·
·1
+ 40 – 40·
·12=
- 12.5 кН·м;
При
x2=a,
MII
=
- RA·2·a
– q·a·
+M0
– q·
=
- RA·2·a+M0
– q·2·a2
= = -5·2·1 + 40 – 40·2·12
= - 50 кН·м;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке III:
QIII = - RA – q·x3; x3Є[0;a];
При x3=0, QIII = - RA = - 5 кН;
При x3=a, QIII = - RA – q·a = - 5 – 40·1= -45 кН;
MIII
=
- RA·x3
– q·x3·
;
x3Є[0;a];
При x3=0, MIII = 0 кН·м;
При
x3=a/2,
MIII
=
- RA·
– q·
= - 5·0.5 – 40 ·
=
-7.5кН·м;
При
x3=a,
MIII
=
- RA·a
– q ·
=
- 5·1 – 40·
=
- 25кН·м;
4) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учетом правил знаков Q и M на каждом участке балки.
Из эпюры видно, что самым опасным сечением балки является сечение C.
5) По максимальному значению изгибающего момента в опасном сечении балки определяем размеры поперечного сечения из условия прочности при изгибе:
σmax
=
≤
[σ],
Для
кольцевого сечения Wx
=
,
где α =
=0,5
;
Тогда диаметр балки, удовлетворяющий условию прочности:
Округлив в большую сторону до стандартного значения, получим:
D =140 мм;
d = D*0.5 = 70 мм;