Использование методов анализа размерности в задачах тепломассообмена.

Представим себе, что мы пытаемся исследовать явление, ранее не изученное. Существует теория размерности. Рекомендации теории размерности: при рассмотрении аналитического описания процессов, ранее не изученного, необходимо:

1. Установить полный перечень существенных для физического процесса размерных величин, которые должны были бы войти в дифференциальные уравнения и условия однозначности.

2. Разделить физические величины на два вида (первичные и вторичные).

3. Установить список ожидаемых безразмерных переменных.

4. Устанавливаем число критериев подобия. Для этого нужна -теорема (теорема Бэкингема):

Первая формулировка: Число безразмерных комплексов равно числу всех физических разнородных величин существенных для задачи за вычитом числа первичных величин.

Вторая формулировка: Физическое уравнение, содержащее размерных величин, из которых имеют независимую размерность, после приведения к безразмерному виду будет содержать безразмерных комплексов (критериев подобия).

Пример использования -теоремы.

В качестве примера рассмотрим пластинку, находящуюся в бесконечном потоке со скоростью набегания . Вектор скорости направлен по оси Х, вдоль которой расположена пластина.

Исходя из методов анализа, найдём связь между координатами. Координата х присутствует в задаче. Координата у нас интересует в плане толщины слоя, где развиваются основные события. Эти события связаны с эпюрой скоростей .

^{- касательные напряжения.}

^{Существенным параметром является коэффициент .}

^{Посмотрим размерности:}

^{Масштабы по х и у различаются на порядки. Поэтому у масштаб иной:}

^.

^{измеряется в поперечном направлении, то есть .}

^{В теории масштабирования:}

^{где М – масштаб.}

^{Существенных величин:}

^{Независимых размерностей: .}

^{-теорема: - безразмерный комплекс.}

^{Безразмерный комплекс строим из четырёх величин:}

безразмерный комплекс

(в этом случае хорошо выпадет размерность по Х.)

(по У)

(по C)

Это система уравнений для нахождения коэффициентов.

Мы должны найти толщину . Предположим, что , тогда: ,

. Мы получим следующее соотношение:

^{где - время транспорта среды до координаты Х:}

^{Введём понятие локального числа Рейнольдса: - относится к координате Х.}

Теорема Гухмана о подобных явлениях.

Подобными процессами будут являться:

1. качественно одинаковые процессы, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями (в безразмерной форме) и имеющие одинаковую физическую природу.

2. условие однозначности подобных процессов должны быть одинаковыми, кроме численных значений постоянных величин, содержащихся в них.

3. Одноимённые критерии подобия должны иметь одинаковую численную величину.

Система уравнений в приближения пограничного слоя.

Сделаем ряд допущений:

1. Задачу будем решать стационарную:

2. Отсутствуют внутренние источники тепла:

3. Диссипативными составляющими пренебрегаем:

4. Будем рассматривать плоскую задачу в плоскости ХУ:

5. Влиянием поля силы тяжести пренебрегаем (вынужденные течения).

^{(1) – уравнение неразрывности}

⁽²⁾

(2) – уравнение сохранения количества движения.

^{(3) – уравнение энергии.}

^{Приведём к безразмерному виду:}

? набегающего

набегающий поток потока

Представим себе, что мы рассматриваем параметры на значительном удалении от входа, то есть , тогда:

Если составляющими, имеющими такие сомножители пренебречь, получим:

⁽¹⁾

( 2)

это уравнение выпадет.

⁽³⁾

Это уравнения приближений Прандтля – уравнения конвективного теплообмена в приближении пограничного слоя.

Характеристика степени турбулентности потока.

Рассмотрим стационарную задачу – турбулентный режим потока. Если в конкретную точку потока поставить чувствительный датчик, реагирующий на любые изменения потока:

Э тот параметр пульсирует в конкретной точке (параметр самовозмущения)

Т – некий период времени:

Отклонение температуры и скорости от средних значений называется пульсацией температуры или скорости соответственно.

- средний квадрат пульсации скорости.

Основная характеристика турбулентности:

^{- по скорости. - скорость потока на входе в канал. Чем больше ,} тем более развита турбулентность потока. - по температуре (аналогично).