Температурное поле и плотность теплового потока в шаровой (сферической) стенке.

З аданы:

Так же заданы граничные условия первого рода:

Здесь не существует торцевого эффекта, задача является одномерной:

Уравнение теплопроводности для нашего случая:

Проинтегрируем:

Рассмотрим два геометрических тела:

1. Шар – может выделять тепло, если есть внутренние источники тепла:

2. Шаровая (сферическая стенка)

^{- текущий радиус}

Домножим на :

^(*)

В сферической стенке, полня передаваемая (переносимая) энергия не зависит от радиуса и является величиной постоянной.

Умножим выражение (*) на и проинтегрируем:

^{; умножим на}

(_*)

термическое сопротивление

_{шарового слоя.}

Для многослойной сферической стенки:

Температурное поле:

Рассмотрим простейший вариант: пусть

; ^{подставим значение для Q из выражения (}*^):

Это температурное поле для шарового слоя (гиперболическая функция).

Решение задач теплопроводности для граничных условий третьего рода. Плоская стенка. Теплопередача.

^{Заданы:}

Значение коэффициентов теплоотдачи

Среда представляется текучей

К роме этого известно значение температур жидкости:

Вследствие того, что и , отсюда

Граничные условия третьего рода заключаются в том, что нам известна плотность теплового потока:

^{- граничные условия левой части стенки.}

Рассмотрим связь между плотностью теплового потока и температурой стенки:

(см. решение ранее) ^{- граничные условия для правой стенки.}

П ереписывая наши выражения, получим:

С ложив, получим: Мы получили выражения для плотности теплового потока при теплопередаче

^{- термическое сопротивление теплопередаче через плоскую стенку.}

^{- коэффициент теплопередачи через плоскую стенку}

_{- термическое сопротивление материала плоской стенки.}

_{- термические сопротивления теплоотдаче.}

Многослойная плоская стенка. Теплопередача.

Записывая выражение для разности температур между слоями и по гипотезе Ньютона -Рихмана, мы получим следующий результат:

- термическое сопротивление теплопередаче через многослойную плоскую стенку.

- коэффициент теплопередачи через многослойную плоскую стенку.

Цилиндрическая стенка. Теплопередача.

Заданы:

Нам известно, что :

^{(см. решение ранее)}

Переписывая наши выражения для разности температур и сложив их, получим:

^{где: - термическое сопротивление} теплопередачи через цилиндрическую стенку

^{- термическое сопротивление теплопроводности стенки.}

^{- линейное термическое сопротивление теплоотдаче через цилиндрическую стенку}

Многослойная цилиндрическая стенка. Теплопередача.

^{где: - линейное термическое сопротивление теплопередаче для многослойной цилиндрической стенки.}

^{- линейный коэффициент теплопередачи через многослойную цилиндрическую стенку.}

^{Запишем связь между плотностями теплового потока, учитывая что в цилиндрической стенке:}

^{где - любой текущий радиус:}

^{- передаваемое через поверхность тепло.}

^{В нашем случае:}

Плотность теплового потока на единицу поверхности с ростом радиуса уменьшается.

^{- коэффициенты теплопередачи, отнесённые к поверхности 1 или 2.}

Существует понятие тонких цилиндрических стенок.

^{Возьмём где}

^{Если можно с достаточной точностью представить как первый член разложения, то это тонкая стенка.}

^{Для тонких стенок выражение для полного количества тепла. передаваемого через цилиндрическую стенку может быть записано в следующем виде.}

^(*)

Причём К рассчитывается как для плоской стенки а диаметр d_x берётся по стороне с наименьшим коэффициентом теплоотдачи. Если коэффициенты теплоотдачи близки друг другу то расчётный диаметр является средним арифметическим:

Докажем это:

Учитывая, что для тонкой цилиндрической стенки , запишем:

Если стенка тонкая, то мы можем предположить, что , то есть:

Преобразуем знаменатель, вынося за скобки :

Справедливость выражения (_*) для цилиндрической тонкой стенки доказана.