Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра. §10.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (изоп).

Пусть на прямоугольнике определена функция . Если функция интегрируема по на , то интеграл есть функция от параметра , определённая на . При этом

(1)

называют интегралом, зависящим от параметра y (ИЗОП).

Если функция определена на множестве более общего вида

и на существует интеграл , (2)

то этот интеграл называют ИЗОП с переменными границами.

Напомним, что функция переменных называется равномерно непрерыв-ной на , если .

Теорема 1 (о непрерывности изоп). Если функция непрерывна на прямоугольнике , то изоп есть непрерывная функция на .

□ Поскольку функция есть непрерывная на замкнутом ограниченном мно-жестве , то по теореме Кантора она является равномерно непрерывной на , т.е. .

Если взять , то получим

. (3)

Тогда

Это значит, что функция – непрерывна в каждой точке .■

Замечание. Можно показать, что если есть непрерывная на и – непрерывные на , то – непрерывная функция на .

Теорема 2 (об интегрируемости изоп). Если функция непрерывна на , то изоп есть интегрируемая на функция, причём

. (4)

□ Поскольку как непрерывная функция (Теорема 1) является интегрируемой, то . Последний интеграл и интеграл из правой части равенства (4) можно рассматривать как повторные для двойного интеграла , который существует для непрерывной на функции. Поэтому интегралы из (4) совпадают. ■

Теорема 3 (о дифференцируемости изоп). Если функция и её частная производная непрерывны на , то изоп есть непрерывно дифференцируемая на функция, причём , (5)

т.е. (ИЗОП можно дифференцировать под знаком интеграла).

□ Введём вспомогательную функцию . (6)

Поскольку непрерывная на , то согласно теореме 1 функция – непрерывная на и интеграл от неё можно вычислить по формуле (4) интегрирования ИЗОП под знаком интеграла:

,

т.е. , откуда по теореме Барроу . Заменяя в (6) на , получим (5). ■

Формулу (5) называют правилом Лейбница дифференцирования ИЗОП.

Замечание. Если функции и непрерывные на и – непрерывно дифференцируемые на , то есть непрерывно дифференцируемая функция на , причём

(7)

– правило Лейбница дифференцирования ИЗОП с переменными границами.

Действительно, пусть . Тогда

. (8)

Функция имеет непрерывные частные производные по всем переменным:

– согласно теореме Барроу; –согласно теореме 3. Тогда из (8) на основании теоремы о производной сложной функции

что и означает справедливость формулы (7).

Пример 1. Вычислить интеграл .

► Будем рассматривать этот интеграл как ИЗОП с параметром и обозначим его через = . Тогда

Таким образом, из равенства имеем

Поскольку из условия следует, что , то .◄

§10.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (низоп).

Пусть на полосе определена функция . Если несобственный интеграл сходится, то говорят, что он сходится на отрезке . При этом на отрезке определена функция

, (1)

которую называют несобственным интегралом, зависящим от параметра (НИЗОП).

Сходимость НИЗОП к функции означает существование предела

, т.е. .

Таким образом, НИЗОП (1) сходится на отрезке , если и только если

.

def. Говорят, что НИЗОП (1) сходится равномерно по параметру у на отрезке , если .

Если НИЗОП (1) сходится на отрезке , но не является равномерно сходящимся по параметру на , то говорят, что НИЗОП (1) сходится неравномерно по параметру на отрезке т.е.

.