- •Глава 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. §7.1. Пространство .
- •§7.2.Предел функции нескольких переменных.
- •Теорема. Для того чтобы последовательность метрического пространства сходилась к , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства или .
- •Пример 2. Функция является разрывной в точке , поскольку она не имеет предела в этой точке . Пример 3. Исследуем функцию на непрерывность в точке .
- •5º. (Теорема Кантора).
- •§7.3. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости фнп в точке). Если все частные производные определены в окрестности точки и непрерывны в , то функция – дифференцируемая в точке .
- •Теорема (Эйлера об однородных функциях ). Если однородная степени функция является дифференцируемой на , то
- •§7.5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Теорема (о смешанных производных). Если смешанные производные функции определены в некотоой окрестности точкаа и непрерывны в этой точке, то .
- •§7.6.Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
- •§7.7. Экстремум функций нескольких переменных.
- •Теорема 1 (неабходимое условие экстремума). Если функция является дифференцируемой в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то
- •Лемма (о знакоопределённой квадратичной форме). Если квадратичная форма является положительно определённой, то существует такое действительное число , что , где .
- •Пример. Исследуем на экстремум функцию .
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. §7.1. Пространство .
def. Непустое множество Х будем называть метрическим пространством, если каждой паре его элементов ставится в соответствие неотрицательное число , которое называют расстоянием между элементами х и у, такое что выполняются условия: 1) 2) ; 3) (неравенство треугольника).
Элементы метрического пространства будем называть его точками, а функцию будем называть его метрикой или нормой.
Например, множество является метрическим пространством, в котором метрика определяется формулой .
Рассмотрим множество упорядоченных пар действительных чисел и обозначим . Если , то получим метрическое пространство – евклидову плоскость.
На одном и том же множестве можно разными способами определить расстояние между его элементами и получить, тем самым, разные метрические пространства. Так на множестве упорядоченных пар действительных чисел расстояние можно определить следующим образом: , или и при этом получить новые метрические пространства.
Обозначим через множество упорядоченных совокупностей , . Пусть
. (1)
В курсе алгебры доказывается, что введенная таким способом метрика соответствует трём условиям расстояния в метрическом пространстве. Таким образом, множество с метрикой (1) есть метрическое пространство.
def. Шаром радиуса с центром в точке называется множество
В частности, шар будем называть -акрестностью точки .
def. Точка называется внутренней точкой множества , если , т.е. точка содержится во множестве вместе с некоторым шаром. Если все точки множества являются внутренними, то множество называется открытым множеством. Пустое множество считается открытым по определению.
def. Точка называется предельной точкой множества , если в каждой окрестности точки содержится точка множества отличная от точки , т.е.
.
Предельная точка множества может принадлежать множеству , а может ему и не принадлежать. Так, каждая точка интервала является предельной точкой этого интервала. Концы интервала и – также его предельные точки, но они не принадлежат этому интервалу. Все точки отрезка предельнве и принадлежат этому отрезку.
def. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Например, отрезок – замкнутое множество.
def. Точка множества , не являющаяся его предельной точкой, называется изолированной точкой множества , т.е.
Каждая точка множества является или его предельной точкой, или его изолированной точкой.
def. Точка называется граничной точкой множества , если в каждой окрестности точки имеются точки как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества называют границей множества и абозначают .
Граничная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству. Так точки и являются граничными точками интервала и отрезка . Каждая граничная точка множества является яго предельной точкой.
def. Множество называется ограниченным, если . Ограниченное замкнутое множество назывется компактом.
def. Множество , где – непрерывные на функции, называют кривой в пространстве . Если – линейные функции, то кривая называется прямой.
def. Если и являются точками из пространства , то множество называется прямой, проходящей через точки и .
def. Отрезком, соединяющим точки и из пространства , называется множество .
def. Лучом с вершиной в направлении называется множество .
Множество называется связным, если каждые две его точки можно соединить кривой , которая полностью содержится в , .
Открытое и связное множество называется областью.