Глава 6. Ряды. §6.1. Свойства сходящихся рядов.

Изучая числовые последовательности, мы познакомились с понятием числового ряда.

def: Пусть –числовая последовательность. Выражение , или

(1)

называют числовым рядом, а числа – членами ряда. Последовательность , где , называют последовательностью частичных сумм ряда. Если существует конечный предел , то ряд (1) называют сходящимся, а число – суммой ряда (1) и пишут . Если последовательность не имеет конечного предела, то говорят, что ряд (1) расходится.

Например, геометрический ряд или является сходящимся при к сумме , т.е. . При геометрический ряд расходится (см. §2.2). Расходимость гармонического ряда мы доказали, используя критерий Коши сходимости числовой последовательности (см. §2.5).

Пример 1. Докажем расходимость гармонического ряда, используя определение расходимости числового ряда.

 (от противного) Пусть ряд является сходящимся к сумме , т.е. последовательность его частичных сумм сходится, причем . Тогда её подпоследовательность . Рассмотрим последовательность , которая является сходящейся как разность сходящихся последовательностей, причём . С другой стороны , а поэтому , т.е. последовательность имеет разные пределы (?!?), а тем самым гармонический ряд – расходящийся. ◄

Далее займёмся изучением свойств сходящихся рядов.

Теорема 1. (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд (1) сходится, то числовая последовательность является бесконечно малой, т.е. .

□ Если ряд (1) сходится, то последовательность его частичных сумм имеет предел. Пусть . Тогда её подпоследовательность , (последовательность есть остаток последовательности ). ■

Замечание 1. Это условие является только необходимым, но недостаточным. Так гармонический ряд является расходящимся, хотя последовательность – бесконечно малая.

Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Так ряд является расходящимся, поскольку .

Теорема 2. (сходимость линейной комбинации) Если ряды и – сходящиеся соответственно к суммам и , то ряд

(2)

является сходящимся, а его сумма равна .

□ Пусть – -ые частичные суммы рядав , и ряда (2) соответственно. Тогда . Поскольку , , то последовательность – сходящаяся и её предел равен . ■

def. Ряд , (3)

полученный из ряда (1) отбрасыванием его первых слагаемых, называется –ым остатком ряда (1).

Теорема 3. Ряд и каждый его остаток либо оба сходятся либо оба расходятся.

□ Пусть , – сответственно –я и –я частичные суммы рядов (1) и (3).

Если , то , а поэтому

. (4)

Если ряд (1) сходится, то последовательность имеет конечный предел при (при этом , фиксировано). Последовательность , тоже имеет конечный предел при , т.е. ряд (3) сходится. Аналогично из сходимости ряда (3) вытекает сходимость ряда (1). ■

Следствие 1. При исследавании ряда на сходимость можно отбрасывать конечное число его первых слагаемых.

Пусть ряд является сходящимся и – его сумма. Пусть – –ый его остаток, тогда . Отсюда получаем , откуда следует, что . Таким образом, имеем

Следствие 2. Числовой ряд является сходящимся тогда и только тогда, когда его остаток при .

Теорема 4. Если ряд (1) является сходящимся, то и ряд , (5) получающийся группированием слагаемых ряда (1) без изменения их порядка, тоже сходится к той же сумме, что и ряд (1).

□ Пусть ,где – возрастающая последовательность. Пусть , , тогда (последним слагаемым в является . Поскольку , а вместе с ней являются подпоследовательностями сходящейся последовательности , то последователь-ность – сходящаяся. При этом, если , то . ■

Следствие. Если ряд (5) является расходящимся, то и ряд (1) расходится.

Замечание. Утверждение, обратное к теореме 4, неверно, т.е. из сходимости ряда (5) не следует сходимость ряда (1).

Достаточно рассмотреть ряд . Этот ряд как геометрический при является расходящимся. Если его слагаемые сгруппировать по два, то получис сходящийся ряд .

Теорема 5. (Критерий Коши сходимости ряда) Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда . (6) □ Если , то . Поэтому условие (6) означает, что , т.е. последовательность – фундаментальная, а тем самым, сходящаяся. Ряд (1) сходится. ■