- •Глава 9. Кратные и криволинейные интегралы. §9.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •§9.2. Двойной интеграл по элементарной области.
- •Пример 2. Вычислить , переходя к повторному по абоим направлениям, если ограничена кривыми : .
- •Пример 3. Вычислить повторный интеграл .
- •§9.3.Преобразование плоских областей.
- •§9.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:
- •§9.5. Приложения двойного интеграла.
- •2º. Объём цилиндроида.
- •3º. Масса плоской пластинки.
- •4º. Статические моменты.
- •5º. Координаты центра массы плоской пластинки.
- •§9.6. Тройной интеграл.
- •1º. Цилиндрические координаты.
- •2º.Сферические координаты.
- •§9.7. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Пуассона.
- •§9.8. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§9.9. Криволинейный интеграл второго рода.
- •§9.10. Формула Грина.
Глава 9. Кратные и криволинейные интегралы. §9.1. Двойной интеграл и его свойства.
Пусть – некоторая замкнутая ограниченная область, а – функция, определённая и ограниченная в . Будем считать, что граница области состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида или , где и – непрерывные функции.
Совокупность областей , которые не имеют общих внутренних точек, и таких, что , будем называть разбиением области и обозначать . Площади областей будем обозначать . Диаметром будем называть найбольшее расстояние между граничными точками этой области, т.е. . Число будем называть мелкостью разбиения .
На каждой области выберем произвольную точку и составим сумму
, которую будем называть интегральной суммой для функции на области , соответствующей разбиению и выборке = .
def. Число называется пределом интегральной суммы при мелкости разбиения , если выполняется неравенство . При этом пишут . Если число не зависит ни от разбиения , ни от выборки , то его называют двойным интегралом от функции по области и обозначают , а функцию называют интегрируемой на области .
Замечание. Давая определение двойного интеграла, мы допускаем, что функция является ограниченной. Можно было это условие не оговаривать, а доказать его как необходимое условие интегрируемости. В то же время это условие недостаточно для интегрируемости.
Например, на квадрате функция
ограничена, но неинтегрируема, что следует непосредственно из определения двойного интеграла.
Пусть , тогда – нижняя и верхняя суммы Дарбу.
Критерий интегрируемости. Для того чтобы функция была интегрируемой на , необходимо и достаточно, чтобы (тем самым эти пределы равны ).
На основании этого критерия можно доказать следующие две теоремы, которые определяют класс интегрируемых функций.
Теорема 1. Функция , непрерывная на замкнутой ограниченной области , является интегрируемой на этой области.
Теорема 2. Функция , ограниченная на замкнутой ограниченной области и непрерывная на ней везде , кроме точек, расположенных на конечном числе кривых, каждая из которых есть график непрерывной функции или , является интегрируемой на этой области.
Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определённого интеграла.
1º. Если интегрируема на и – произвольное действительное число, то функция также интегрируема на и .
2º. Если и интегрируемы на , то их сумма также интегрируема на и .
3º. Если интегрируема на и на , то .
4º. Если и интегрируемы на и , то
.
5º. Если интегрируема на и , то она интегрируема на . Если при этом и не имеют общих внутренних точек, то
.
6º. Теорема о среднем значении. Если функция интегрируема на замкнутой ограниченной области , то существует число , причём . Если при этом непрерывная, то существует точка
.
§9.2. Двойной интеграл по элементарной области.
Теорема 1.(двойной интеграл по прямоугольнику) Пусть функция интегрируема на прямоугольнике и для каждого существует . Тогда существует повторный интеграл
и имеет место равенство . (1)
□ Рассмотрим произвольное разбиение отрезков и точками
.
Пусть , .
Если ,то .
Интегрируя эти неравенства по в границах от до , получим
.
Выбираем и придаём переменной значения . Просуммировав полученные неравенства по , получим
,
т.е. .
Домножив эти неравенства на и просуммировав их по , получим:
. (2)
Здесь и – нижняя и верхняя суммы Дарбу, которые, в силу интегрируемости функции , удовлетворяют условию . Переходя в (2) к пределу при (при этом ), имеем
,
т.е. . ■
Замечание. Если в условиях теоремы поменять ролями и , то можно паказать, что .
Следствие. Если непрерывна на , то имеет место равенство
.
def. Пусть и – непрерывные на функции, причём . Область называют элементарной относительно оси
|
|
Теорема 2 (двойной интеграл по элементарной области). Пусть функция является интегрируемой на элементарной относительно оси области , и для каждого существует . Тогда существует повторный интеграл и имеет место равенство
. (3)
□ Пусть . Рассмотрим функцию
Поскольку – интегрируема на (как ) и на (как нуль), то по свойству двойного интеграла – интегрируема на прямоугольнике , причём . (4)
Аналогично из существования каждого из интегралов
следует, что существует . (5)
Таким образом, для функции на прямоугольнике выполняются условия теоремы 1, т.е. . Подставляя сюда выражения из (4) и (5), получаем (3). ■
Вопрос: какой геаметрический смысл интеграла ?
Пример 1. Вычислить , где . |
|
►Поскольку круг ограничен полуокружностями , то
◄
def. Будем называть область элементарной относительно оси , если , где и – непрерывны на .
Замечание. Если функция интегрируема на области , элементарной относительно оси , то имеет место равенство .
Если же область есть элементарная относительно обеих координатных осей, то для интегрируемой на функции имеет место равенство
.