Числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

.Математическим ожиданием М(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

М(x)=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+…. +x_np_n.

Опр. Дисперсией Д(х) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата её отклонения

Д(x)=M(X-M(х))²

Есть ещё одна формула для вычисления дисперсии случайной величины

Д(x)=M(x²)-(M(х))²

Опр. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина равная σ(x)=

Пример: Задан закон распределения случайной величины

х	0	1	2	3
P	0,1	0,25	0,15	0,5

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

М(X)=0*0,1+1*0,25+2*0,15+3*0,5=0+0,25+0,3+1,5=2,05

X^2	0	1	4	9
P	0,1	0,25	0,15	0,5

M(x²)=0*0,1+1*0,25+4*0,15+9*0,5=0+0,25+0,6+4,5=5,35

Д(x)=М(x²)-(M(x))²=5,35-2,05²=5,35-4,2025=1,1475

σ(x)=

Ответ: М(x)=2,05

Д(x) 1,148

σ(x) 1,07

№33

Теорема о сумме произведений вероятностей событий.

Суммой событий А и В называют событие С=А+В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий.

Опр. Произведением событий А и В называют событие С=А*В, состоящее в том, что в результате испытания, должно произойти и событие А и событие В.

Например: Имеется колода карт. А- событие: достали «даму». В – событие: достали «крести».

А+В – событие: достали все «дамы» и все «крести»

А*В - событие: достали « даму крести»

Теорема 1 Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Например: В ящике 10 белых шаров, 15 черных шаров, 20 синих шаров, 25 красных шаров

Из ящика вынули один шар, какова вероятность того , что вынутый шар будет или белым или черным.

Р(А +В) = Р(А) +Р(В) = 10 \70 + 15/70 = 25 \70 = 5 \ 14

Теорема 2 Если события совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:

Р(А +В) = Р(А) +Р(В) – Р(А*В)

Например: Найти вероятность того , что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет шесть очков.

Р(А +В) = 1 \6 +1 \6 - 1 \36 = 11 \36

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема 4. Если события образуют полную группу попарно несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Р(А1) +Р(А2) +……+ Р(Ап) =1

Теорема 5. Вероятность произведения двух независимых событий вычисляется по формуле Р(А*В) =Р(А) *Р(В)

Теорема 6. Вероятность произведения двух зависимых событий вычисляется по формуле Р(А*В) =Р(А)*Р(В/А)