1. Точечные оценки и их свойства.

Точечной оценкой Ɵ* параметра Ɵ называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке объема n.

Оценка Ɵ* - случайная величина, меняющаяся от выборки к выборке.

Любую функцию, зависящую от выборочного значение Ɵ*= Ɵ*(x1, x2, … , xn) называют статистикой

Свойства:

1. Исследуемость Ɵ* параметра Ɵ называют неизменной, если M(Ɵ*)=Ɵ

Отдельная оценка Ɵ* не равняется Ɵ, но при многократном осуществлении выборки объема n среднее значение по всем выборкам будет равно Ɵ.

Разность M(Ɵ*)=Ɵ называется смещением или систематической ошибкой оценивания.

2. Эффективной оценки. Зачастую используют несколько несмещенных оценок одного и того же параметра.

3. Состоятельность. Каждая отдельная эффективная оценка не гарантирует того, что она даёт более точное значение исследуемого параметра, чем менее эффективное

2. Свойства выборочных оценок.

На начальном этапе исследования в качестве оценки той или иной числовой характеристики (M(x), D(x),…) берётся выборочная числовая характеристика. Затем исследуя эту оценку, её уточняют таким образом, чтобы она удовлетворяла условиям несмещения, состоятельности и т.д.

Свойства:

1. -оценка математического ожидания M( )=a.

Пусть D(x) = υ ² неизвестно. Покажем, что СВx = является несмещенной оценкой M(x). x_i, i = , является СВ, имеющая тот же закон распределения, что и СВx. Поэтому M(x_i)=a, D(x_i)=υ².

Покажем, что M(x)=a, т.е. -несмещенная оценка M(x). M( )=M( )= = *n*a=a. Таким образом -несмещенная оценка M(x)

2. Рассмотрим свойства оценки дисперсии D(x) выборочной дисперсии.

S²= ². Можно доказать, что M(S²)= υ². Отсюда следует, что S² – смещенная оценка υ². Введём несмещенную оценку дисперсии - исправленную выборочную дисперсию. ²= ; S²= ². Это оценка действительно будет несмещенной, т.к. M( ²) = M( S²)= M(s²)= υ²= υ²

M( ²)= υ²

Можно показать, что оценка является состоятельной. Таким образом ² – несмещенная и состоятельная оценка υ². Можно ввести понятие исправленного среднего квадратического отклонения. = = )². Замечание: при объеме выборки n>30 различая между ² и S² незначительно.

3. Относительная частота. w_i=w(x=x_i)= – несмещенная и состоятельная оценка вероятности P(X=x_i)

4. Эмпирическая функция распределения. F*(x)= – несмещенная и состоятельная оценка функции распределения F(x)=P(X<x).

3. Интервальные оценки, их точность оценки.

После получения точечной оценки Ɵ* желательно иметь данные о надёжности такой оценки, о её точности. Поэтому, точечная оценка может быть дополненная интервальной оценкой – (Ɵ₁, Ɵ₂) внутри которого с посредством заданной вероятностью находится точное значение оцениваемого параметра Q. Такой интервал называется доверительным интервалом, а вероятность ɣ доверительно вероятной или надежной.

P(Ɵ₁<Ɵ<Ɵ₂)= ɣ

Длина доверительного интервала растет при увеличении надёжности ɣ и уменьшается увеличением объема выборки n. Обычно доверительный интервал выбирается симметрично относительно точечной оценки Ɵ*, т.е. доверительный интервал записывается в виде: (Ɵ*- υ, Ɵ*+ υ), тогда величина υ определяется из равенства (P|Ɵ - Ɵ*|< υ)= ɣ. Величина υ называется точностью оценки

4. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной СВ при известной дисперсии.

Пусть количественный признак X генерируемой совокупности имеет нормальный закон распределения, X~N(a, υ²), а – неизвестная величина, υ²-известная. Необходимо найти по выборке объема n: x1,x2,...,xn доверительный интервал для математического ожидания a:

1. По данной выборке найдём точную оценку неизвестного параметра a: = ;

2. Составим СВ: z=x-a/υ /n , z~N(0;1)

3. Зададим надежность ɣ

4. Найдём z_ɣ такое, что P(|z|<z_ɣ)=ɣ

5. Изобразим на графике плотность распределения N(0;1)

При рассмотрении нормального законо распределения было доказано, что P(|z|<z_ɣ) = 2Ф(z_ɣ). Поэтому z_ɣ можно найти из уравнения: 2Ф(z_ɣ)=ɣ или Фz_ɣ =

После нахождения z_ɣ по таблице функции Лапласса можно найти доверительный интеграл.

<z_ɣ

z_ɣ

* z_ɣ<a< *z_ɣ

Здесь точность оценки *z_ɣ

5. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной СВ при неизвестной дисперсии.

В реальности истинное значение υ² как правило неизвестно. Пусть X~N(a, υ²). a и υ²-неизвестные. Необходимо построить доверительный интервал для математического ожидания a:

1. Пусть извлечена выборка объма n: x₁,x₂,…,x_n. Найдём точечные оценки параметров a,υ²:

+

²

2. Рассмотрим статистику

+

Которое имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k=n-1.

3. Зададим надёжность ɣ

4. С помощью таблицы критических точек распределения Стьюдента найдём t_ɣ, которое удовлетворяет равенству

P(|T|<t_ɣ;k)= ɣ

5. После преобразований получим доверительный интервал

* t_ɣ;k<a< * t_ɣ;k

6. Статистическая проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода.

Статистической гипотезой называют гипотезу о виде закона распределения СВ или о параметрах известного закона распределения. Гипотеза Н₀ подлежащая проверке называется нулевой (основной). Наряду с гипотезой Н₀ рассматривается гипотеза Н1, которая применяется, если отклоняется гипотеза Н₀. Такая гипотеза называется альтернативной (конкурирующей).

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить согласуются ли выборочные данные и выдвинутая гипотеза.

При проверке гипотезы выборочные данные могут противоречить Н₀, тогда Н₀ отклоняется. Если же статистические данные согласуются с гипотезой Н₀, то она не отклоняется.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута гипотеза Н₀, в то время как она верна. Вероятность ошибки первого рода называется условием значимости и обозначается £.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята гипотеза Н₀, когда верна гипотеза Н₁. Вероятность такой ошибки обозначается через ß.

7. Статистические критерии. Критическая область и ее нахождение.

Статистическую гипотезу проверяют на основе данных выборки. При этом используют специально подобранную СВ (статистику, критерий), распределение которой известно. Эту СВ в зависимости от её закона распределения обозначают так:

- Z, если она имеет N(0;1);

- T, если она имеет распределение Стьюдента;

- F, если она имеет распределение Фишера;

- X², если она имеет распределение хи-квадрат.

В целях общности статистический критерий обозначим буквой k.

Таким образом, статистическим критерием называют СВк, которая служит для проверки статистической гипотезы. После выбора СВк множество её значений разбиваются на 2 попересекающихся подмножества:

- одно из них содержит значения k, при которых Н₀ отклоняется (это критическая область);

- другое – при которых Н₀ не отклоняется (область принятия гипотезы).

Основной принцип проверки статистических гипотез:

- Если k наблюдаемое (значение критерия k вычисляется по выборке) принадлежит критической области, то Н₀ отклоняется и применяется гипотеза Н₁.

- Если k наблюдаемое принадлежит области принятия гипотезы, но Н₀ не отклоняется (принимается).

- Точки разделяются область принятия гипотезы с критической областью через критические точки

Нахождение критической области:

Пусть задан уровень значимости L для проверки гипотезы H₀. Предположим, что используемая для проверки H₀ статистика равна k. Для того, чтобы найти критические точки определим так, чтобы вероятность попадания СВк в критическую область равнялось L. В зависимости от вида гипотезы H₁, критическая область может быть двусторонней или односторонней.

1. H₁: Ɵ Ɵ₀

Тогда критическая область двусторонняя

k_кр. Определяется из равенства P(|k|>k_кр.)=£

2. H₁: Ɵ> Ɵ₀

В этом случае критическая область правосторонняя

P(k>k_кр.)=£

3. H_1: Ɵ< Ɵ₀

В этом случае критическая область левосторонняя

P(k<-k_кр)=£

8. Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной св при известной дисперсии

Пусть генеральная совокупность Х распределена нормально, причем ее матем ожидание m неизвестно, а дипрессия q2 известна. Также есть основание предполагать, что m=m0. Тогда

H0: m=m0, H1:m m0, (H2:m>m0, H3:m<m0)

Для проверки Н0 извлекается выборка объема n:x1,x2,…,xn и в качестве критерия строится статистика где , y= . Доказано, что если Н0 справедлива, то статистика U имеет стандартизированное нормальное распределение (U N(0,1)).

1. Пусть в качестве альтернативной рассматривается гипотеза H1:m m0. Тогда критические точки и будут распределятся по таблице функций Лапласа из условия

Если < нет оснований для отклонения H0.

Если гипотеза Н0 отклоняется в пользу альтернативной гипотезы Н1.

2. При H2:m>m0 критическую точку ua правосторонней крит области находят из равенства

Если Uнабл < ua нет оснований для отклонения Н0

Если Uнабл ua Н0 отклоняется в пользу Н1

3. При H3:m<m0 крит точка ua-1=-ua

Если Uнабл>u1-a нет оснований для отклонения Н0

Если Uнабл u1-a Н0 отклоняется в пользу Н1

9. Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной св при неизвестной дисперсии.

Пусть генеральная совокупность X имеет нормальное распреде­ление, причем ее математическое ожидание m и дисперсия ² неиз­вестны. Данная ситуация более реалистична по сравнению с преды­дущей. Пусть есть основания утверждать, что m = m₀. Тогда строятся следующие гипотезы:

Н₀: m = m₀,

H1:m m₀ (H2: m>m₀; Н3: m <m₀).

Для Проверки Н₀ извлекается выборка объема n: x₁ х₂,..., х_n; вычисляются выборочное среднее и исправленная выборочная дисперсия )² | которой соответствует стандартное отклонение S = . Далее строится следующая t-статистика:

Имеющая при справедливости Н0 распределение Стьюдента с н=n-1 степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы.

1. При Н₀: m = m₀ по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы н=n-1 критические точки и

Если < нет оснований для отклонения Н0.

Если -Н0 отклоняют в пользу Н1.

2. При H2: m>m₀ определяют критическую точку t_а,n-1 право­сторонней критической области.

Если Тнабл < -нет оснований для отклонения Н0.

Если Тнабл - Н0 отклоняют в пользу Н2.

3. При H3 : m < т₀ определяют критическую точку t_1-а,n-1 = -t_а,n-1 левосторонней критической области. Если Тнабл > —t_б,n-1, — нет оснований для отклонения Н₀.

Если Тнабл —t_б,n-1 - Н0 отклоняют в пользу Н3.

10. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных св.

Зачастую при сравнении двух экономических показателей на первый план выходит анализ разброса значений рассматриваемых СВ. Например, при решении вопроса об инвестировании в одну из двух отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнении уровней жизни в двух странах среднедушевой доход может оказаться приблизительно равным. Сопоставив разброс в доходах, мы получаем более точное представление об интересуемом нас вопросе. Анализ, аналогичный описанному выше, целесообразно проводить путем сравнения дисперсий исследуемых СВ.

Пусть ) и ), причем их дисперсии неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий и : H0: = , H1: ( H2: ).

По независимым выборкам х1,х2,…,xn и у1,у2,…,yk объемов n и k соответственно определяются и (для однозначности пусть . В противном случае эти величины можно переобозначить).

В качестве критерия проверки Н0 принимают СВ , определяемый отношением большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей. Если Н0 верна, то данная статистика F имеет F- распределение Фишера с н1= n-1 и н2=k-1 степенями свободы.

1. При H1: по таблицам критических точек распределения Фишера по уровню значимости (а) и числам степеней свободы v1 и v2 определяется критическая точка

Если Fнабл< –нет оснований для отклонения Н0.

Если Fнабл≥ - Н0 отклоняется в пользу Н1.

2. При H2: определяется критическая точка

Если Fнабл< нет оснований для отклонения Н0.

Если Fнабл ≥ - Н0 отклоняется в пользу Н2.

Заметим, что при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в качестве альтернативной гипотезы в большинстве случаев используется гипотеза Н2.