Задача 1.Найти неопределённый интеграл

Решение:

=

Получаем: = (4-3x)

Задача 2. Вычислить определённый интеграл:

Решение:

Получаем:

=

Задача 3. Вычислить неопределённый интеграл:

Решение:

Введем замену: , тогда

Задача 4. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Задача 5.Вычислить неопределенный интеграл:

Решение:

Выделяем целую часть:

- x+1

x+1

Получаем:

=

Разложим правильную рациональную дробь на дроби методом неопределенных коэффициентов:

Получаем:

=

Задача 6. Вычислить неопределенный интеграл:

Решение:

Разложим правильную рациональную дробь на дроби методом неопределенных коэффициентов

Вычитаем из третьего уравнения четвертое:

Прибавим к третьему уравнению первое умноженное на -4:

Прибавим ко второму уравнению первое умноженное на -5:

Задача 7.

Найти неопределенный интеграл:

Решение:

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

=

=

Вычтем из второго уравнения четвертое:

Вычтем из второго уравнения первое:

Вычитаем из третьего уравнения четвертое:

Тогда:

Задача 8. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Воспользуемся универсальный подставкой:

t=tg

Где:

sinx= , cosx= , dx=

x=

x=2arctg2

Подставляем:

Задача 9. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Воспользуемся подстановкой:

t=tgx

Где:

sin2x= , dx=

x=

x=arctg3

Подставляем:

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

Тогда:

=

Задача 10. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Задача 11. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

=

dx=

3x+1=

1)=

Задача 12.

Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Замена:

x=16sin t dx=16cost dt

x=0

x=16

Получаем:

=

Задача 13.

Найти неопределенный интеграл:

Решение:

Под интегралом дифференциальный бином ,откуда m=- , n= , p=

Т.к. целое, то используем замену:

a , где s- знаменатель дроби P.

Т.е. в нашем случае замена имеет вид:

X=

dx=-2 =-4z

Получаем:

=

!Задача 14

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

y=

На графике видно что площадь между графику состоит из двух одинаковых частей:

=2

Найдем площадь части где x как разность двух интегралов:

S=

Задача 15.

Задача 16.

Задача 17.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

lnx,

Решение:

Длина дуги кривой, заданной уравнением y=f(x); a , определяется формулой L=

Найдем производную данной функции:

=

Тогда по формуле получаем:

L= = =

= = =

Задача 18.

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

Решение:

Найдем производные по t:

;

L=5 5 dt= 5 dt=5 =10

Часть 2. Дифференциальные уравнения.

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

4x

Решение:

4x =3

2x(2+

ln

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение:

Данное уравнение является однородным, поэтому делаем замену

y=ux, u= ,

Интегрируем последнее уравнение:

Учитывая y= , получим:ln ln ln

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение:

s=zt

z=

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

Решение:

y=uv;

; ln v=ln x; v=x.

u=

y=x ( ).

y(1)=0

y=x

Задача 5. Решить задачу Коши.

Решение: Полагаем x функций от y, x=x(y).

.

x=u v;

u=

x=

Учитывая y(e)=2, получаем:

y=

x=

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

3

Решение:

Обозначим М=(x,y)=3 , N(x,y)=

=

Поскольку то данное уравнение представляет собой уравнение в полных дифференциалах, то есть существует функция U(x,y) такая, что dU=3 dx+( -1)dy. По определению дифференциала имеем: =3 , откуда получаем

U= dx+ dx+ = + , где -некоторая функция, зависящая от y.

Дифференцируя найденную функцию U по переменной y получим:

= + (1)

С другой стороны, из исходного уравнения следует, что

= -1 (2)

Приравнивая (1) и (2) получаем дифференциальное уравнение нахождения функция :

+ = -1

=-1

=-y+E, где Е - произвольная постоянная.

Таким образом получаем U(x,y)= -y+E. Но поскольку дифференциал функции U равен нулю (т.е dU=0), то U является постоянной, то есть

-y+E = D, где D-постоянная. Полученное равенство можно переписать в виде -y=, где С=D-E-произвольная постоянная.

Задача 11.

Найдите решение задачи Коши:

4 ,

4

ln

x=0, y= ln

ln

Задача 12.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

x=0 x=-1 x=-2

6

Общее решение:

Задача 13.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

12

-12A=-12 A=1

16A-12B=16 B=0

Задача 14.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

x=0 x=-2

2Bcosx-2Asinx+2(A+B)cosx+2(B-A) sinx=4sinx+4cosx

(A+2B)cosx+(-2A+B)sinx=2sinx+2cosx

Задача 15.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

y=0 y=2

Представим 2ch2x=

2A=1 A=

8B=1 B=

Задача 16.

Найти решение задачи Коши:

, y(0)=3 , =0

Решение:

После решения системы получаем:

u=-π

v=π

y(0)=3 3=(0+