Часть 3. Ряды.
Задача 1. Найти сумму ряда:
Произведем эквивалентные преобразования ряда:
Так как , то получаем, что исходный ряд мы можем переписать в следующем виде:
= = .
Рассмотрим ряд .
Произведем замену , тогда суммирование будет производиться от k=n-8= =9-8=1, a .
Подставим полученные значения в ряд
Произведем аналогичные преобразования и с рядом . Тогда для него замена :
начальное k=n-6= =9-6=3, a = .
Подставим данные в .Итак, мы получили, что исходный ряд равен разности двух рядов:
= =
Ответ: =
Задача 2. Исследовать ряд на сходимость:
Обозначим
Тогда для всех n верно следующее утверждение: , так как
Докажем сходимость ряда . Тогда из его сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящихся рядом сверху и нулем снизу(все члены ряда неотрицательны).
Обозначим . По признаку сравнения (говорящему, что ряд вида сходится только при условии, что а строго больше 1, т.е. а и расходится в противном случае, при а , ряд сходится, так как выполняется условие сходимости:1.5 .
Поэтому и исходный тоже сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задача 3. Исследовать ряд на сходимость:
Обозначим
При n ,поэтому сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости следующего ряда:
Докажем сходимость ряда Тогда из его сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу ( все члены ряда неотрицательны).
Обозначим По признаку сравнения (говорящему, что ряд вида сходится только при условии, что а строго больше 1, т.е. а и расходится в противном случае, при а ряд сходится, так как выполняется условие сходимости: 1,5
Поэтому и исходный ряд тоже сходится.
Ответ:
ряд сходится.
Задача 4. Исследовать ряд на сходимость:
Обозначим , т.к. растет быстрее чем (n+1) при n .
Докажем сходимость ряда . Тогда из его сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, т.к. тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу ( все члены ряда неотрицательны).
есть сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, которая находится по формуле
Тогда исходный ряд тоже сходится.
Ответ: сходится.
Задача 5. Исследовать ряд на сходимость:
Воспользуемся признаком Коши:
Если
Если расходится.
Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся.
Ответ: сходится.
Задача 6. Исследовать ряд на сходимость:
Воспользуемся предельным признаком сходимости.
Если два ряда и удовлетворяют условию: конечное число, не равное 0, то ряды и
Сходится или расходятся одновременно.
Рассмотрим следующий ряд:
lim это конечное число число, не равное 0
Значит, ряды и сходится или расходится одновременно.
Для исследования сходимости второго ряда воспользуемся интегральным признаком сходимости рядов.
Если некоторая функция f(x) удовлетворяет условию f(n)= , то если сходится, то и ряд сходится, а если расходится, то и ряд расходится.
Рассмотрим следующую функцию:
f(x)=
Если сходится, то и ряд сходится, если интеграл расходится, то и ряд расходится.
Интеграл сходится, значит и ряд сходится. Из сходимости этого ряда
следует сходимости исходного.
Ответ: сходится.
Задача 7.
Исследовать ряд на сходимость:
Воспользуемся признаками Лейбница:
если ряд удовлетворяет условиям:
- монотонно убывающая, начиная с некоторого n=N