3. Возможные постановки задач оптимизации n-канальных систем массового обслуживания с отказами

1. Определить оптимальное число каналов, обеспечивающее минимум затрат на систему, при условии достижения требуемого уровня ее безотказной работы.

Пусть = 1, ≤ 0,03 (т. е. ≤ 3%). Целевая функция (затраты на СМО) запишется: у = cn min, где c=const. Найти:

По-другому можно записать:

Последнее равенство начинает выполняться при = 4, так как

2. Определить оптимальное число каналов, обеспечивающее максимум прибыли от эксплуатации СМО в единицу времени.

Содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Чем больше каналов, тем больше затраты на эксплуатацию СМО. Вместе с тем, чем больше каналов (при λ и μ= const ), тем больше доля обслуживаемых заявок. А каждая обслуженная заявка дает определенный (пусть постоянный) доход в единицу времени. При увеличении числа каналов pacтyт доходы (D), но pacтут и расходы на эксплуатацию СМО (R). Чтобы решить эту задачу, необходимо найти оптимальное число каналов (), обеспечивающее максимум целевой функции

(Р = D - R mах), т. е. нужно максимизировать приибыль в единицу времени.

Пример. Контроль готовой продукции фирмы осуществляют три контролера. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается не проверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, - 18 изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия - 6 мин.

Определить вероятность того, что изделие пройдет проверку, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы ≥0,98.

Решение. n = 3, λ = 0,3 изд./мин, = 6 мин, 0,98, μ= изд./мин, ρ= =

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:

2. Вероятность отказа в обслуживании:

= 0,2784· = 0,2706.

3. Вероятность обслуживания:

= 1- 02706 = 0,7294 .

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов: = 1,8*0,7294 = 1,31292 1,3.

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

= 0,43.

6. Абсолютная пропускная способность:

А = 0,3*0,7294 = 0,21882 .

Поскольку у нас вышло, что ≤0,98 и нам нужно узнать, сколько контролеров нужно поставить, мы возьмем и увеличим количество контролеров до n=6.

1. Вероятность простоя каналов обслуживания: = 0,23618.

2. =0,23618·0,0472=0,0112.

3. Вероятность обслуживания:

= 1- 0,0112 = 0,9888.

Вероятность того, что при n = 3 деталь пройдет необслуженной, составляет 27 %, и контролеры будут заняты на 43 %.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 97 %, необходимо не менее n = 6, т. е. 6 контролеров.

4. Системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием

Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.

Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).

Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т. е.

= 0 и =1.

Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:

1. Обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел - первым обслужен».

2. Случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний пришел - первым обслужен».

3. Обслуживание с приоритетами по принципу «самые главные вне очереди».

По ниже написанным формулам можно вычислить СМО с неограниченным ожиданием:

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k = 0):

2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок:

3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов:

4. Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

5. Среднее число заявок в очереди:

6. Среднее время ожидания заявки в очереди:

7. Среднее время пребывания заявки в СМО:

8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

9. Среднее число свободных каналов:

10.Коэффициент занятости каналов обслуживания:

11. Среднее число заявок в СМО:

Пример. Приходная касса городского района с временем работы 8 часов в день про водит прием от населения коммунальных услуг и различных платежей в среднем от 280 человек в день.

В приходной кассе работает четыре оператора. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента составляет четыре минуты.

Определить характеристики работы приходной кассы как объекта СМО.

Решение. n=4, λ=0,583, μ=0,25, ρ=2,3, =4 мин

1. Вероятность простоя кассы городского района в течение рабочего дня:

2. Вероятность застать кассу городского типа занятой:

3. Вероятность очереди:

4. Среднее число заявок в очереди:

5.

6. Среднее время ожидания заявки в очереди:

7. Среднее время пребывания заявки в СМО:

8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

9. Среднее число свободных каналов:

10. Коэффициент занятости каналов обслуживания:

11. Среднее число посетителей в кассе городского типа:

Вероятность простоя приходной кассы городского района равна 5 % рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди - 0,2179 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания - 0,3738 мин.