6. Одноканальная система массового обслуживания с ожиданием

Пусть простейший поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что СМО не может вместить более N заявок, т. е. заявки, не попавшие в ожидание, покидают СМО. Состояния СМО имеют следующий вид:

- канал свободен;

- канал занят, очереди нет;

- канал занят, одна заявка в очереди;

…………………………………………….

- канал занят, n - 1 заявка в очереди;

…………………………………………….

- канал занят, N - 1 заявка в очереди.

Процесс в данной системе будет описан системой алгебраических уравнений:

Система уравнений имеет следующее решение:

Выполнение условия ρ < 1 необязательно, поскольку число допускаемых в СМО заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди.

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной

(N - 1):

1. Вероятность отказа обслуживания заявки: =

2. Относительная пропускная способность СМО:

q = 1 -

3. Абсолютная пропускная способность СМО: А =qλ

4. Среднее число находящихся в СМО заявок:

5. Среднее время пребывания заявки в СМО:

6. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди:

7. Среднее число заявок в очереди: = λ(1 - ) .

Пример. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет двое суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем два судна.

Решение. Для решения данной задачи заметим, что ρ= =λ*= 0,4*2=0,8. Поскольку ρ = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.

Вероятность того, что причал свободен, как было показано ранее, =l-ρ=1-0,8=0,2, а вероятность того, что он занят =1 - 0,2 = 0,8. По формуле

= 1- ρ вероятности того, что у причала находятся одно, два или три судна (т. е. ожидают разгрузки 0, одно или два судна), равны:

Вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем два судна, равна

p= + + =0,16+0,128+0,1024=0,3904.

Среднее число судов, ожидающих разгрузки:

Среднее время ожидания разгрузки:

= 3,2/0,8 = 4 (суток).

Среднее число судов, находящихся у причала:

а среднее время пребывания судна у причала суток.

Таким образом, очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна либо увеличение числа причалов n.