5.Второе уравнение Максвелла

За основу берется закон электромагнитной индукции:

. (5.22)

Заслуга Максвелла заключается и в том, что он развил этот закон для мысленного контура, и добавил понятие о циркуляции вектора напряженности электрического вдоль этого мысленного контура. Левую часть этого уравнения преобразуем по теореме Стокса, правую представим в виде:

, (5.23)

. (5.24)

Тогда . (5.25)

Здесь так же равны подинтегральные выражения:

. (5.26)

Это второе уравнение Максвелла. Оно связывает изменение электрического поля в пространстве с изменением магнитного поля во времени, и является дифференциальным уравнением, имеющим бесчисленное множество решений. Конкретное решение может быть найдено с учетом начальных и граничных условий. Эти два уравнения характеризуют неразрывную связь электрического и магнитного полей

6.Третье уравнение Максвелла

Рассмотрим теорему Гаусса и постулат Максвелла.:

, . (5.27)

Левая часть уравнений преобразуется по теореме Остроградского:

. (5.28)

Правая часть может быть расписана как

, (5.29)

где ρ – объемная плотность зарядов.

После подстановки

. (5.30 )

Здесь равны так же подинтегральные выражения

. (5.31)

Это третье уравнение Максвелла. Оно говорит о том, что дивергенция, величина расхождения (мощность) электрического поля, равна плотности заряда в данной точке. Там, где нет зарядов, нет дивергенции поля. Если заряд положительный, дивергенция положительна, и наоборот (рис. 5.3)

7.

ρ> 0 ρ < 0

+ divD > 0 – divD < 0

Рис. 5.3

Четвертое уравнение Максвелла

Проделав аналогичные операции над принципом непрерывности магнитного потока, можно получить четвертое уравнение Максвелла

_. (5.32)

Это уравнение говорит о том, что нигде нет источников магнитного поля, и оно имеет вихревой характер. Принцип непрерывности электрического тока ничего нового не дает в смысле характеристики электромагнитного поля, и не входит в число основных уравнений.

В полную систему уравнений, характеризующих электромагнитное поле в точке, входят 4 уравнения Максвелла и еще три дополнительных:

, (5.33)

, (5.34)

_, (5.35)

, (5.36)

, (5.37)

, (5.38)

. (5.39)

Эти уравнения переменных полей. Если поля постоянны во времени, то их можно разделить на две системы.

Для электростатического поля

,

,

.

Д ля магнитного поля (поля постоянных токов)

,

_,

,