11.Безвихревой характер электростатического поля

Если в электрическое поле с напряженностью Е внести точечный заряд q, то под действием сил поля заряд будет перемещаться. Работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2,

. (5.63)

Работа, совершаемая при перемещении заряда, не зависит от пути, а только от конечных точек, и при движении вдоль замкнутого пути равна нулю. Это свидетельствует о безвихревом характере электростатического поля. Так как работа зависит от величины дополнительного заряда, то возникает необходимость определить величину работы на единицу заряда. Такая величина носит название потенциала.

12.Электрический потенциал

Электрический потенциал (φ) определяется делением работы на величину заряда:

. (5.64)

Как видно из последнего выражения потенциал зависит от конечной точки перемещения. Потенциалы разных точек поля можно характеризовать по отношению к одной определенной точке. При перемещении этой точки потенциалы остальных будут изменяться на одну и ту же величину. Поэтому для однозначности необходимо выбрать такую точку поля, потенциал которой равнялся бы нулю. Обычно такая точка находится или в бесконечности или на поверхности земли.

Разность потенциалов между двумя произвольными точками поля называется напряжением

. (5.65)

Напряжение не зависит от точки нулевого потенциала.

Рассмотрим две бесконечно близкие точки Р и Р₁ (рис. 5.9), настолько близкие, что напряженность поля Е изменяется бесконечно мало. Пусть потенциал точки Р равен φ (φ_р = φ). Потенциал точки Р₁ увеличивается и будет иметь значение:

. (5.66)

Определим разность потенциалов этих точек:

. (5.67)

С другой стороны

, (5.68)

где Е_l – проекция напряженности поля на направление l.

В таком случае

, или . (5.69)

Э

Рис. 5.9

то означает, что скорость уменьшения потенциала в произвольном направлении l равна проекции вектора напряженности на это направление. Аналогичные выражения можно получить и в направлениях осей координат. Тогда вектор напряженности поля будет равен градиенту потенциала, взятому с отрицательным знаком:

,

где – проекции вектора на координатные оси. Модуль вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов проекций:

. (5.70)

Из (5.64) следует, что

. (5.71)

С учетом (5.60)

. (5.72)

Определим постоянную интегрирования. Пусть при  =0. Тогда const=0, и

. (5.73)

Таким образом, расчет электрического поля осуществляется следующим образом:

1. Определяется потенциальная функция  = (x, y, z), т. е. зависимость потенциала каждой точки от координаты точки.

2. Осуществляется переход от потенциала к напряженности поля.

Пример:

Пусть  = 5x² + 3y³ + 2z² . Определить Е в точке А(1, 2, 2).

Решение: ;

;

; .