Общая схема построения формализованного языка.

1. Логические символы – знаки для логических терминов.

2. Нелогические символы – предназначенные для замещения простых высказываний.

3. Технические символы

Далее формулируется правило образования выражений данного языка. В рамках формальных языков строится логические теории, решающие следующие задачи:

1. В ыделяют во множестве формул языка класс формул, представляющие собой логические законы.

2. Выделяют во множестве переходов класс тех, которые являются формами правильных умозаключений.

Для каждого вида нелогических символов задается класс их допустимых интерпретаций. Далее для каждого вида правильно построенных выражений формулируются правила установления их значений.

Законом логической теории является формула, принимающая значение истина при любых допустимых интерпретациях входящих в нее нелогических символов (тождественно-истинные формулы).

Существует и другой способ построения логических систем – логические исчисления. Они решают те же задачи, но используют иные критерии и процедуры выделения логических знаков и способов правильных умозаключений.

Билет № 6

Понятие логической формы

Логическая форма - это та сторона рассуждения (доказательства, вывода, аргументации и т.п.), которая не зависит от содержания данного рассуждения. Логическая форма в языке фиксируется посредством логических констант и образуемых с их помощью отдельных фраз и их сочетаний - схем рассуждения (форм вывода, выражающих связь посылок и заключения), в которых может воплощаться разное содержание.

Логическая форма языкового контекста - выражение , фиксирующее ту чать содержания контекста, которая остаётся в результате отвлечения от конкретных содержаний нелогических терминов или же содержаний простых высказываний, входящих в данный контекст. Процедура отвлечения от содержаний нелогич.терминов и простых высказываний происходит посредством замены указанных языковых выражений параметрами соответствующих категорий. При выявлении логической формы контекста сохраняется информация о типах значений заменяемых выражений и в каком порядке и с помощью каких логич.терминов они сочленяются в этом контексте. Логическую форму можно выявить по разному. Способ выявления логической формы обусловлен во первых тем, учитывается ли внутренняя структура простых высказываний, и во вторых, тем, какие выделяются категории нелогических терминовю

Вопрос о том, является ли некоторое умозаключение правильным или неправильным, нельзя смешивать с вопросом, какими – истинными или ложными являются его посылки и заключение. Это нужно четко различать, поскольку тот или иной ответ на второй из них не всегда предопределяет ответ на первый.

Два умозаключения, построенных по одинаковому принципу:

(1) А.П. Бородин занимался химией или сочинял музыку.

А.П. Бородин сочинял музыку или писал детективные романы.

Неверно, что А.П. Бородин писал детективные романы.

А.П. Бородин занимался музыкой.

(2) М.Ю. Лермонтов жил в 18 веке, или он жил в 19 веке.

М.Ю. Лермонтов жил в 19 веке, или он жил в 20 веке.

Неверно, что М.Ю. Лермонтов жил в 20 веке.

М.Ю. Лермонтов жил в 18 веке.

Если каждая из посылок истинна, а заключение ложно, то умозаключение заведомо неправильно. В (2) все посылки истинны, а заключение ложно, следовательно, умозаключение заведомо неправильно. Заключение (1) истинно.

Этот пример показывает необходимость ввода такого понятия как логическая форма. Заменим простые высказывания, входящие в состав посылок заключения умозаключения (1) малыми буквами из середины латинского алфавита, например:

p:=А.П. Бородин занимался химией

q:=А.П. Бородин сочинял музыку

r:=А.П. Бородин писал детективные романы.

В результате замены получим следующую языковую конструкцию:

(3) p или q

q или r

неверно, что r

p

Аналогичную операцию проделываем с умозаключением (2). Приходим к выводу, что оба умозаключения имеют одинаковую структуру, иначе, одинаковую логическую форму.

Итак, для того чтобы показать, что некоторое умозаключение неправильно, достаточно найти, по крайней мере, одно умозаключение той же логической формы, все посылки которого истинны, а заключение ложно. Тем самым мы вывели критерий неправильности умозаключения:

Умозаключение является неправильным, если и только если его логическая форма не гарантирует, что при истинных посылках мы обязательно получим истинное заключение, т.е. существует умозаключение данной логической формы с истинными посылками и ложными умозаключениями.

Умозаключение является правильным, если и только если его логическая форма гарантирует, что при истинности посылок мы обязательно получим истинное заключение, т.е. существует умозаключение данной формы с истинными посылками и ложными заключениями.

Билет № 7

Логическое следование (с. 28-35)

Умозаключение является правильным, если и только если его логическая форма гарантирует, что при истинности посылок мы обязательно получим истинное заключение, т.е. существует умозаключение данной формы с истинными посылками и ложными заключениями.

При выполнении этого условия говорят, что между посылками и заключением имеет место отношение логического следования, что заключение логически следует из посылок.

Вообще, ложное заключение может быть получено в результате умозаключения в следующих случаях:

1. если все его посылки истинны, но само умозаключение неправильно;

2. если умозаключение правильно, но в нем имеется некоторая ложная посылка;

3. если имеется ложная посылка, и само умозаключение неправильно.

Логическое следование – фундаментальное понятие логики. Прежде всего, отметим, что логическое следование представляет собой отношение между высказываниями по форме. Это означает, что для решения вопрос о наличии или отсутствии этого отношения между высказываниями необходимо выявить их логические формы. Более того, можно считать, что отношение логического следования имеет место не только между определенными высказываниями естественного языка, но и между их логическими формами. Причем, установив факт наличия (или отсутствия) отношения следования применительно к логическим формам высказываний, мы можем заключить, что данное отношение имеет (или не имеет) место и между самими высказываниями.

Пусть В – логическая форма некоторого высказывания, а Г – множество логических форм каких-либо высказываний.

Из Г логически следует В, если и только если не существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Г и В, при которой выражения из Г принимают значения «истина», а В – значение «ложь».

Из Г логически следует В, если и только если при любой интерпретации параметров в составе Г и В, при которой все выражения из Г принимают значение «истина», выражение В примет значение «истина».

Билет № 8

Понятие закона логики

Понятие логического закона, наряду с понятием логического следования, является важнейшим в дедуктивной логике.

Дедукция - форма умозаключения от общего к частному и единичному, характеризующаяся тем, что новое знание о предмете или группе однородных предметов выводится на основании:

- знания класса, к которому принадлежат исследуемые предметы; и

- общего правила, действующего в пределах данного класса предметов.

Любое высказывание может быть оценено как истинное или ложное. Однако способы установления истинности или ложности высказываний разных типов могут существенно отличаться. В некоторых случаях значения высказываний устанавливают путем непосредственного обращения к действительности, в других осуществляется в рамках конкретных научных теорий. Однако для определенного класса высказываний вопрос об их истинности или ложности может быть решен с использованием исключительно логических средств, на основе анализа их логических форм.

Например, рассмотрим следующие высказывание:

Идет дождь, или неверно, что идет дождь. (1)

Пусть р:=идет дождь, тогда логическая форма данного высказывания будет иметь вид:

р или неверно, что р (2)

При осуществлении всевозможных интерпретаций параметра р в (2), убеждаемся, что логическая форма истинна, как и само высказывание (1).

Высказывания, истинные в силу своей логической формы, называют логически истинными. Сами же логические формы таких высказываний, зафиксированные в языке, содержащем параметры – скажем, выражение (2) , - называют логическими законами.

Логический закон – это такая логическая форма высказывания, которая принимает значение «истина» при любой интерпретации параметров, входящих в ее состав.

Логически ложные высказывания – это еще один тип высказываний естественного языка, значения которых можно установить, основываясь только на анализе их логических форм.

Пример такого высказывания: Идет дождь, и неверно, что идет дождь.

Логическая форма: р и неверно, что р

Высказывания, которые не являются ни логически истинными, ни логически ложными называют логически недетерминированными. Их значения нельзя установить логическими средствами, поскольку одни высказывания такой формы истинны, а другие ложны.

Пример логически недетерминированного высказывания:

Идет дождь, или светит солнце.

Логическая форма: р или q

Если при интерпретации параметров р или q вместо какого-нибудь их них подставить истинное высказывание, то выражение превратиться в истинное высказывание. Если же вместо р или q подставить ложные высказывания, то полученное выражение окажется ложным.

Билет № 9

Основные семантические категории и синтаксис логики высказываний (c. 42-49)

СЕМАНТИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ - класс языковых выражений, взаимная замена которых в предложении сохраняет его граммати­ческий статус, т. е. предложение остается предложением.

Семантика - раздел языкознания и логики, исследующий проблемы, связанные со смыслом, значением и интерпретацией лексических единиц.

Семиотика - научная дисциплина, изучающая производство, строение и функционирование различных знаковых систем, хранящих и передающих информацию.

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это логическая теория, язык которой содержит один тип нелогических символов – пропозициональные переменные, а также один тип логических символов – пропозициональные связки.

При выявлении логических форм контекстов естественного языка в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых высказываний, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Данный уровень анализа логических форм предполагает, во-первых, наличие в формализованном языке нелогических символов только одного типа – параметров, которыми могут замещаться простые высказывания естественного языка. Эти параметры называются пропозициональными переменными и употребляются в качестве них символы – p,q,r,s, p₁…

Во-вторых, все логические символы этого формализованного языка также принадлежат к одной категории, они образуют из одной или нескольких формул новую формулу, а их прототипы в естественном языке, например «и», «или», «если…то», являются терминами, образующими из одних высказываний другие, более сложные. Логические символы указанного типа называются пропозициональными связками.

Неверно, что – отрицание, инверсия

И – конъюнкция.

Или – дизъюнкция, строгая дизъюнкция.

Если…то – импликация.

Тождественно, эквивалентно – эквивалентность.

Технические символы: ( , ).

Итого, основные семантические категории это: пропозициональные переменные, пропозициональные связки и технические символы.

Синтаксис логики высказываний определяется следующими четырьмя пунктами:

1. Всякая пропозициональная переменная является правильно построенной формулой (ППФ).

2. Если А – ППФ, то ⌐А также является ППФ.

3. Если А и В являются ППФ, то выражения (А&В), (АvВ), (A→B), (A≡B) также являются ППФ.

4. Ничто иное не является ППФ.

Формулы, указные в пункте первом данного определении, называют элементарными, а в пунктах втором и третьем – сложными.

Пользуясь определением формулы, можно для любого выражения языка в конечно число шагов решить вопрос о том, является оно формулой или нет.

Билет № 10

Каждому набору истинностных значений элементарных высказываний, входящих в некоторую формулу, соответствует истинностное значение этой формулы, получаемое после выполнения всех операций согласно определяющим эти операции истинностным таблицам.

Для всякой формулы логики высказываний можно построить таблицу истинности. Она состоит из строк и столбцов. Каждому варианту задания истинностных значений входящих в формулу пропозициональных букв соответствует отдельная строка таблицы истинности. Для каждой входящей в формулу пропозициональной буквы в таблице истинности имеется свой столбец. Последний столбец содержит истинностные значения всей формулы для каждого набора истинностных значений входящих в нее пропозициональных букв.

Пример. Таблица истинности для формулы  (в ней дважды опущена пропозициональная связка ) выглядит следующим образом:

			
	И	И	Л
	И	Л	И
	Л	И	И
	Л	Л	Л

Даже для такой короткой формулы, видимо, не совсем понятно, как получены значения в последнем столбце. Что ж тогда говорить о более сложных формулах? Поэтому для облегчения построения таблице истинности в нее включают также столбцы, соответствующие результатам выполнения каждой операции. В таком случае говорят о расширенной таблице истинности. расширенной таблице истинности для формулы  имеет вид:

					
	И	И	Л	Л	Л
	И	Л	И	Л	И
	Л	И	Л	И	И
	Л	Л	Л	Л	Л

Посмотрим внимательнее на то, как связаны истинностные значения формулы со значениями ее пропозициональных букв. Формула принимает значение И тогда и только тогда, когда точно одна из входяших в нее букв принимает значение И. Говорят, что эта формула определяет дизъюнкцию в разделительном смысле (исключающую дизъюнкцию). Если в формуле имеется n различных пропозициональных букв, то для них возможны различных распределений истинностных значений, и, следовательно, истинностная таблица для такой формулы содержит строк.

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ - таблица, с помощью которой уста­навливается истинностное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. В клас­сической математической логике предполагается, что каждое про­стое (не содержащее логических связок) высказывание является либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно. Мы знаем, что у высказывания имеется лишь две возможности — быть истин­ным либо быть ложным. Когда с помощью логических связок мы соединяем простые высказывания в сложное, встает вопрос: при каких условиях сложное высказывание считается истинным, а при каких — ложным? Для ответа на этот вопрос и служат Т. и. Каждая логическая связка имеет свою таблицу, которая показывает, при каких наборах значений простых высказываний сложное высказы­вание с этой связкой будет истинным, а при каких — ложным. Приведем Т. и. для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и имплика­ции («и» означает «истина», «л» - «ложь»):

А	~ А	А	В	А&В	A v B	A-> в
и	л	и	и	и	и	и
л	и	и	л	л	и	л
	л	л	и	л	и	и
	и	л	л	л	л	и

Придать значение пропозициональной связке означает сопоставить ей определ.функцию истинности.

Пользуясь приведенными таблицами, для любого сложного выска­зывания, содержащего указанные связки, можем построить Т. и..которая покажет, когда высказывание истинно и когда — ложно. В качестве примера построим Т. и. для такого высказывания: (A v~B) —> B.

	А	B	(Av~B) ->B
1	и	и	и	и
2	и	л	и	л
3	л	и	л	и
4	л	л	и	л

 

Т. и. позволяет выделить из класса формул нашего языка всегда истинные формулы (тавтологии), всегда ложные формулы, устано­вить отношение логического следования между формулами, их эк­вивалентность и т. д. Наряду с двузначными Т. и. в логике использу­ются таблицы с тремя, четырьмя и т. д. значениями истинности, построением и анализом которых занимается многозначная логика.

Билет №11

Логическая истинность, логическая ложность, логическая выполнимость.

Законом классической логики высказываний является формула, принимающая значение «истина» при любых наборах значений входящих в неё пропозициональных перемнных.Формулы данного типа называют тождественно-истинными.

Формула называется тождественно-ложной, если и только если она принимает значение ложь прилюбых наборах значений входящих в неё пропозициональных переменных.

Формула называется выполнимой если и только если она принимает значение «истина» по крайней мере при одном наборе входящих в неё пропозициональных переменных.Всякая тождественная формула является выполнимой.

Формула опровержима если и только если она принимает значение «ложь» по крайней мере при одном наборе входящих в неё пропозиц.переменных.

Если во всех строках таблицы формула принимает значении истины то высказывание логически истинно.Если во всех строках формула принимает значение ложь то высказывание логически ложно. Если же формула выполнима и опровержима то высказывание логически недетерминировано.

Билет №12

Логические отношения между формулами в исчислении высказываний.

Отношения
фундаментальные	производственные
Формулы совместимы по истинности тогда и только тогда, когда в совместной таблице истинности все формулы принимают значение истины хотябы в одной строке.	Противоречие(контрадикторность)Несовместимы по истинности и несовместимы положности.
Формулы совместимы по ложности если в совместной таблице истинности есть строка, где все ф-лы принимают значение ложь.	Противоположность(контрарность) Совместимы по истинности но не совместимы по ложности.
Из А логически следует В тогда, когда в совместной таблице истинности не существует такой строки, в к-й А истинна а В ложна	Подпротивоположность(субконтрарность)Совместимы по ложности но не совместимы по истинности.
	Логическая независимость Совместимы по истинности, совместимы по ложности но не следуют друг из друга.
	Эквивалентность Совместимы по истинности и ложности и следуют друг из друга.
	Подчинение А подчиняет В если из А следует В, а из В не следует А и наоборот.

Билет 13

Основные законы логики высказываний

A  A	Закон исключения третьего
A  A	Закон двойного отрицания
A  A  A	\ Законы
A & A  A	/ идемпотентности
A  (A & B)  А	\ Законы
A & (A  B)  А	/ поглощения
A & B  B & A	\ Законы
A  B  B  A	/ коммутативности
A & (B & C)  (A & B) & C	\ Законы
A  (B  C)  (A  B)  C	/ ассоциативности
A & (B  C)  (A & B)  (A & C)	\ Законы
A  (B & C)  (A  B) & (A  C)	/ дистрибутивности
	\ Законы
	/ Де Моргана
A  B  B  A	Закон контрапозиции
(A  B) & (B  C)  (A  C)	Закон транзитивности импликации
(A  B) & (A  B)  A	Закон косвенного доказательства
(A  B) & (A  C) & (B  C)  С	Закон разбора случаев
(A  B) & (B  C)  (A  C)	Закон транзитивности эквиваленции
(A  B)  (A  B)	Закон противоположности
A  A  И, A  A  И	Закон выражения И
A & A  Л, (A  A)  Л	Закон выражения Л
A  B  A  B	Закон выражения импликации через отрицание и дизъюнкцию
(A  B)  (A  B) & (B  A)	Закон выражения эквиваленции через конъюнкцию и импликацию
A & B  (A  B)	Закон выражения конъюнкции через отрицание и импликацию
A  B  A  B	Закон выражения дизъюнкции через отрицание и импликацию

Билет 14

Логический анализ разделительных и условно-разделительных умозаключений.

Разделительным называется умозаключение, одна из посылок которого является разделительным суждением, а другая посылка и вывод являются категорическими суждениями.

Разделительное умозаключение является правильным при определенных условиях, а именно:

• части разделительного умозаключения в посылке находятся в отношении исключающего разделения (строгой дизъюнкции);

• части разделительного суждения в посылке исчерпывают объем делимого понятия.

Разделительное умозаключение существует в двух модусах: modus ponendo tolens — положительно-отрицательный, modus tollendo ponens — отрицательно-положительный.

Modus ponendo tolens представляет собой умозаключение, большая посылка которого является разделительным суждением, меньшая — утвердительным суждением, а вывод — отрицательным суждением.

Каждое А есть либо В, либо С;

А есть В;

Следовательно, А не есть С.

Например:

Все разумные тварные существа суть либо ангелы, либо люди;

Данное существо есть человек;

Следовательно, оно не есть ангел.

Как было отмечено выше, разделительное суждение должно быть исключающим, а объем членов суждения должен совпадать с объемом делимого понятия.

Студент N не сдал экзамен либо по болезни, либо по нерадению, либо в силу отсутствия на занятиях;

Студент N отсутствовал на занятиях.

Вывод сделать нельзя, поскольку и то, и другое, и третье могло оказаться причиной недостаточной подготовки студента N; кроме того, студент мог не сдать экзамен и по иной причине, которая не указана в разделительном суждении.

Modus tollendo ponens представляет собой умозаключение, большая посылка которого является разделительным суждением, меньшая — отрицательным суждением, а вывод — положительным суждением.

Каждое А есть либо В, либо С;

Данное А не есть В;

Следовательно, данное А есть С.

Например:

Все сущее есть или тварное, или нетварное;

Человек не есть нетварное существо;

Следовательно, человек есть тварное существо.

Условно-разделительным (леммой) называется умозаключение, в котором одна посылка — разделительное суждение, а другие посылки, число которых равно числу членов деления, являются условными суждениями.

По числу членов деления оно называется дилеммой, трилеммой. Условно-разделительные умозаключения существуют в простом и сложном модусах.

Простой modus ponens (конструктивный) представляет собой условно-разделительное умозаключение, посылки и вывод которого являются положительными суждениями:

Каждое A есть либо B, либо C;

Если A есть B, то A есть D;

Если A есть C, то A есть D;

Следовательно, A есть D.

Пример:

Всякий грешник является либо блудником, либо лихоимцем, либо сребролюбцем, либо славолюбцем;

Если грешник блудник, то он и нечестивец;

Если грешник лихоимец, то он и нечестивец;

Если грешник сребролюбец, то он и нечестивец;

Если грешник славолюбец, то он и нечестивец;

Следовательно, всякий грешник — нечестивец.

Простой modus tollens (деструктивный) представляет собой условно-разделительное умозаключение, меньшие посылки и вывод которого являются отрицательными суждениями.

Если A есть B, то A есть D;

Если A есть B, то A есть F;

Но A не есть D, либо A не есть F;

Следовательно, A не есть B.

Пример:

Если я хочу сдать экзамен, то мне нужно время, чтобы слушать лекции;

Если я хочу сдать экзамен, то мне нужен учебник;

Но у меня нет ни времени, ни учебника.

Следовательно, я не смогу сдать экзамен.

Сложный (конструктивный) modus ponens представляет собой условно-разделительное умозаключение, посылки которого являются положительными условными и разделительными суждениями, вывод — разделительным суждением, а в меньшей посылке утверждается консеквент.

Если A есть B, то C есть D;

Если E есть F, то G есть H;

Но либо A есть B; либо E есть F;

Следовательно, или C есть D, или G есть H.

Пример:

Если я опоздаю на занятие, то получу выговор от преподавателя;

Если я не выучу урок, то получу плохую оценку;

Но я либо опоздаю на занятия, либо не выучу урок;

Следовательно, я получу либо выговор, либо плохую оценку.

Сложный (деструктивный) modus tollens представляет собой условно-разделительное умозаключение, большая посылка которого (разделительное суждение) является отрицательным суждением, меньшие посылки являются положительными суждениями, а меньшая посылка и вывод отрицают антецедент.

Если A есть B, то C есть D;

Если E есть F, то G есть H;

C не есть D и G не есть H;

Следовательно, A не есть B и E не есть F.

Пример:

Если я опоздаю на занятие, то получу выговор преподавателя;

Если я не выучу урок, то получу плохую оценку;

Но я не хочу получить ни выговор от преподавателя, ни плохую оценку;

Следовательно, я выучу урок и не опоздаю на занятие.

Альтернативы леммы назывались в средние века "рогатым аргументом", так как в том же модусе возможно и противоположное умозаключение: "Если будешь говорить справедливое, тебя возненавидят люди; а если несправедливое — боги" [1].

Полная форма умозаключения.

Если оратор будет говорить справедливое, то его возненавидят люди;

Если оратор будет говорить несправедливое, то его возненавидят боги;

Но политические речи бывают справедливыми и несправедливыми;

Следовательно, политические речи ненавистны либо богам, либо людям.

Но:

Если оратор говорит справедливое, то он угоден богам;

Если оратор говорит несправедливое, то он угоден людям;

Но политические речи бывают справедливыми или несправедливыми;

Следовательно, политические речи угодны либо богам, либо людям.

Билет 15

Ошибочные виды прямых умозаключений