31. Скорость движения шара вниз по наклонной плоскости. (????????) (не знаю, то ли это, что надо)

Поскольку сила трения работы не совершает, полная энергия шара остается постоянной. В начальный момент времени кинетическая энергия равна нулю, потенциальная равна mgh. В конце скатывания потенциальная энергия становится равной нулю, зато появляется кинетическая энергия, равная . Т.к. скольжение отсутствует, и связаны соотношением . Подставив в выражение для кинетической энергии и , получим: . Полная энергия в начале и в конце скатывания должна быть одинакова: , откуда , а угловая скорость:

31. Гармонические колебания и их свойства

Колебания – процессы, хар-ся той или иной степенью повторяемости по времени. В зависимости от физ. природы повторяющегося процесса различают колебания: мех., эл-магн., эл-мех. и др..

Гармон колеб-я – по закону sin/cos. (A – амплитуда, w₀ – цикл частота, – нач фаза). Функция косинуса имеет период . Значит, состояние колеблющегося тела повторяется при изменении фазы на .

Состояния системы повторяются через время T – период. . Частота:

Диф ур-е гармон колеб-ий: ;

Гармон колебания рассматриваются: 1)природ колеб-я близки к гармон; 2)различ колеб процессы можно представить как сумма гармон колеб-ий.

Зная начальное положение и скорость тела, можно определить амплитуду и начальную фазу:

31. Энергия гармонических колебаний

Пусть мат тчка совершает гармон колеб-я вдоль оси oX около положения равновесия, принятого за начало координат, тогда: – сила, дейсвующая на колеб мат тчку.

– кин. энергия

– потенц энергия

Кин и потенц энергии зависят от времени. Полная энергия ( ) постоянна. T и U изменяются с частотой (в 2 раза больше, чем частота колеб-ий)

31. Уравнение гармонических колебаний и его решение

Из 2го закона Ньютона: . => , ). => => => ( ). Получаем диф ур-ие, описывающее движение.

Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество.

Нетрудно проверить прямой подстановкой, что в нашем случае решение имеет вид:

т.е. является гармонической функцией. Значит уравнение, это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

36. Периоды колебаний физического и математического маятников

Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, за который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состоя­ние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. При этом фаза получает приращение 2 :

Отсюда получается, что Математическим маятником называется идеализированная система, со­стоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой нити длиной L и колеблющейся под действием силы тяжести без трения. Частота малых колебаний зависит от длины маятника , но не от массы тела. Формула для периода колебаний математического ма­ятника называется формулой Томсона. Согласно период колебаний ма­тематического маятника пропорционален его длине в степени 1/2 . При небольших углах отклонения   физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.   Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла  . Так как угол маленький, у нас получается, что F равно:   Для вывода закона движения физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения:   Так как момент силы определить в явном виде нельзя. Надо записать дифференциальное уравнение колебаний физического маятника:    Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний:   Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:   Тогда период колебаний математического маятника будет равен:

    — Период физического маятника.  — Момент силы маятника относительно оси вращения.  — Расстояние от оси вращения до центра масс.  — Масса маятника.  — Ускорение свободного падения

37.Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции I_С относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

Доказательство:

П усть - радиус-вектор i-ro элемента тела относительно центра масс. Радиус-вектор центра масс системы частиц относительно начала отсчета вы­бранной системы отсчета равен = по определению. В системе центра масс и, следовательно, относительно центра масс суммарный вектор .Но составляющая вектора но , перпендикулярная осям 1 и 2. Следовательно, если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям 1 и 2, также равна нулю.