Слау. Основные понятия и определения

Обычно СЛАУ записывается в виде: или (A - матрица, x,b – вектор-столбцы). Известно, что если определитель матрицы , то СЛАУ имеет единственное решение. В противном случае решение либо отсутствует (если ), либо имеется бесконечное множество решений (если ). Важно чтобы задача была корректной, т. е. чтобы при малых погрешностях правой части и (или) коэффициентов погрешность решения также оставалась малой. Признаком некорректности, или плохой обусловленности, является близость к нулю определителя матрицы. Плохо обусловленная система двух уравнений геометрически соответствует почти параллельным прямым. Точка пересечения таких прямых (решение) при малейшей погрешности коэффициентов резко сдвигается. Корректность СЛАУ характеризуется числом . Чем дальше от 1, тем хуже обусловлена система. Обычно при система некорректна и требует специальных методов решения - методов регуляризации. Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы дают достаточно точное решение за конечное число арифметических операций и используются для хорошо обусловленных СЛАУ небольшого порядка (метод Гаусса для СЛАУ общего вида, его модификация для трехдиагональной матрицы – метод прогонки и метод квадратного корня для СЛАУ с симметричной матрицей). Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению рекуррентной последовательности векторов. Итерационные методы выгодны для систем большого порядка n>100, а также для решения плохо обусловленных систем (одношаговые методы простой итерации и Зейделя).

Метод Гаусса

Метод основан на приведении с помощью преобразований, не меняющих решение, исходной СЛАУ с произвольной матрицей к СЛАУ с верхней треугольной матрицей. Этап приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Решение системы с верхней треугольной матрицей находится по формулам, называемым обратным ходом метода Гаусса. Прямой ход метода Гаусса осуществляется следующим образом: вычтем из каждого m-го уравнения (m=2, 3,.., n) первое уравнение, умноженное на , и вместо m-го уравнения подставим полученное. В результате в матрице системы исключаются все коэффициенты 1-го столбца ниже диагонального. Затем, используя 2-е полученное уравнение, аналогично исключим элементы второго столбца (m=3, 4,.., n) ниже диагонального и т. д. Такое исключение называется циклом метода Гаусса. Проделывая последовательно эту операцию, мы приходим к верхней треугольной матрице. При указанных операциях решение СЛАУ не изменяется. На каждом шаге преобразований прямого хода элементы матриц изменяются по формулам прямого хода метода Гаусса. Если в ходе расчетов по данному алгоритму на главной диагонали окажется нулевой элемент, то произойдет сбой. Для того чтобы избежать этого, следует каждый цикл начинать с перестановки строк.

Метод прогонки

Многие задачи (например, решение дифференциальных уравнений 2-го порядка) приводят к необходимости решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей (главная диагональ и 2-е рядом). В этом случае расчетные формулы метода Гаусса значительно упрощаются. После исключения поддиагональных элементов в результате прямого хода метода Гаусса (Прямой ход метода Гаусса осуществляется следующим образом: вычтем из каждого m-го уравнения (m=2, 3,.., n) первое уравнение, умноженное на , и вместо m-го уравнения подставим полученное. В результате в матрице системы исключаются все коэффициенты 1-го столбца ниже диагонального. Затем, используя 2-е полученное уравнение, аналогично исключим элементы второго столбца (m=3, 4,.., n) ниже диагонального и т. д. Такое исключение называется циклом метода Гаусса.) и последующего деления каждого уравнения на диагональный элемент систему можно привести к виду: . кси и кпд вычисляются по формулам. Когда такое преобразование (прямой ход) сделано, формулы обратного хода метода Гаусса также упрощаются и имеют несколько другой вид. Достаточным условием того, что в формулах метода прогонки не произойдет деления на нуль и расчет будет устойчив относительно погрешностей округления, является выполнение неравенства (хотя бы для одного i должно быть строгое неравенство).