Нахождение обратных матриц

Матрица A-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если их произведение равно единичной матрице E. Если определитель матрицы A отличен от нуля (такие матрицы называются невырожденными или неособенными), то обратная матрица всегда существует. Обозначим искомую обратную матрицу n-го порядка X. Равенство AX=E, служащее определением обратной матрицы X может быть использовано для нахождения элементов обратной матрицы. Мы имеем систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных элементов обратной матрицы, которую можно решить одним из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Вся эта система распадается на n групп независимых уравнений с n неизвестными в каждой. Все они имеют одну и ту же матрицу коэффициентов A, отличаясь лишь свободными членами. Таким образом, для нахождения элементов матрицы n-го порядка необходимо n раз решить систему линейных алгебраических уравнений n-го порядка. Так как все они имеют одну и ту же матрицу коэффициентов A, то при использовании метода Гаусса процедура прямого хода проводится только один раз. При этом решение этих n систем можно объединить в одной схеме, рассматривая одновременно n столбцов свободных членов.

Минимумы 1 переменной

Нахождение минимума функции осуществляется в два этапа: 1. Приближенное определение местоположения минимума. 2. Вычисление точки минимума xmin c заданной точностью одним из нижеприведенных методов. На первом этапе, задав некоторую начальную точку x0, спускаются с заданным шагом h в направлении уменьшения функции и устанавливают интервал длиной 2h, на котором находится минимум, из условия f(x-h)> f(x) < f(x+h).

Метод деления отрезка пополам

Алгоритм метода.

Задаются интервал [a, b] и погрешность . 1. Вычисляется середина интервала [a, b]. 2. Отбрасывается половина интервала, не содержащая минимум: if f(x-eps)<f(x+eps) then b=x else a=x 3. Если |b-a| >eps , то повторяем с п. 1. 4. Вычисляем min=(a+b)/2 Этот метод прост в реализации, позволяет находить минимум разрывной функции, однако требует большого числа вычислений функции для обеспечения заданной точности.

Метод золотого сечения

Золотое сечение – это такое деление отрезка [a, b] на две неравные части при котором отношение большего отрезка ко всему интервалу равно от- ношению меньшего отрезка к большему. Алгоритм поиска минимума аналогичен вышеописанному методу деления пополам и отличается тем, что вначале точки x1 и x2 выбираются так, чтобы они осуществляли золотое сечение отрезка, и вычисляются значения функции в этих точках. В последующем, после сокращения интервала путем отбрасывания неблагоприятной крайней точки, на оставшемся отрезке уже имеется точка, делящая его в золотом отношении, известно и значение функции в этой точке. Остается лишь выбрать ей симметричную и вычислить значение функции в этой точке для того, чтобы вновь решить, какую из крайних точек отбросить. При одинаковом количестве вычислений функции отрезок, на котором находится xmin, уменьшается быстрее, чем в методе деления пополам.