Метод квадратного корня

Метод предназначен для решения СЛАУ с симметричной матрицей. Этот метод основан на представлении такой матрицы в виде произведения трех матриц: , где D – диагональная с элементами , S – верхняя треугольная, – транспонированная нижняя треугольная. Матрицу S можно по аналогии с числами трактовать как корень квадратный из матрицы A, отсюда и название метода. Если матрицы S и D известны, то решение исходной системы сводится к последовательному решению трех систем – двух c треугольной и одной с диагональной матрицами. Решение систем ввиду треугольности матрицы S осуществляется по формулам, аналогичным обратному ходу метода Гаусса. Нахождение элементов матрицы S (извлечение корня из А) осуществляется по рекуррентным формулам. В этих формулах сначала полагаем k=1 и последовательно вычисляем ; и все элементы первой строки матрицы S, затем полагаем k=2 и тд. Метод квадратного корня почти вдвое эффективнее метода Гаусса, т. к. полезно использует симметричность матрицы. Функция sign(x) возвращает – 1 для всех x<0 и +1 для всех x>0.

Метод простой итерации

В соответствии с общей идеей итерационных методов исходная система должна быть приведена к виду, разрешенному относительно : , где G – матрица; – столбец свободных членов. При этом решение должно совпадать с решением исходной СЛАУ. Затем строится рекуррентная последовательность первого порядка . В начале вычислений задается некоторое начальное приближение , для окончания – некоторое малое eps. Получаемая по- следовательность будет сходиться к точному решению, если норма матрицы . Привести исходную систему к виду можно различными способами. Если исходная матрица A имеет преобладающую главную диагональ то преобразование можно осуществить просто, решая каждое i-е уравнение относительно .

Метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Суть его состоит в том, что при вычислении очередного приближения используются уже вычисленные ранее значения. Такое усовершенствование позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Кроме того, данный метод может быть реализован на компьютере без привлечения дополнительного массива, так как полученное новое сразу засылается на место старого. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если заменить на и убрать строки .

Понятие релаксации

Методы простой итерации и Зейделя сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Если норма матрицы G близка к 1, то сходимость очень медленная. Для ускорения сходимости ис- пользуется метод релаксации. Суть его в том, что полученное по методу про- стой итерации или Зейделя очередное значение пересчитывается по формуле включающей в себя параметр релаксации 0<w<=2. Если w< 1 – нижняя релаксация, если w>1 – верхняя релаксация. Параметр подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций.