§ 18. Частотные характеристики (чх)

ЧХ определяются в установившемся режиме гармонических колебаний как расчетным, так и опытным путем при x(t)=x_msin(ωt+φ_x),

где φ_x – начальная фаза (t=0) отсчитывается от точки перехода гармонической функции через 0 от отрицательных значений к положительным до начала координат, ωt+φ_x – текущая фаза, x_m – амплитуда, ω – частота колебаний. Это колебание удобно представить в комплексной форме (комплекс мгновенного значения):

,

г де – мнимая единица, причем .

В линейной системе в установив-шемся режиме на выходе величина будет меняться по гармоническому закону той же частоты, но другой амплитуды и фазы y(t)=y_m^.sin(ωt+φ_y). Соответственно .

Через эти величины определяют все ЧХ:

-АЧХ – зависимость от частоты отношения амплитуды выхода к амплитуде входа:

.

-ФЧХ - зависимость от частоты разности (сдвига) фаз выходного и входного колебаний:

φ(ω)=φ_y(ω)-φ_x(ω).

-АФХ - зависимость от частоты отношения комплексов входного и выходного колебаний:

.

Подставляя сюда комплексы входа и выхода, получим формулу связи (представление АФХ в показательной форме):

W(jω)=A(ω)^.e^jφ(ω).

Можно применить алгебраическую форму записи (через вещественную ВЧХ и мнимую МЧХ характеристики):

W(jω)=u(ω)+jv(ω).

Характеристики АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ являются скалярными и строятся в прямоугольных координатах, где по горизонтали откладывают ω.

Каждое значение АФХ - комплексная величина и может рассматриваться как вектор на комплексной плоскости с координатами u и jv. Соответственно, АФХ можно считать как годографом (геометрическое место концов) вектора W(jω) при изменении частоты ω от 0 до ∞, как параметра.

ω=∞

ω=0

u

jv

ω_i

φ(ω_i )<0

Е

Направление возрастания 

сли по вещественной и мнимой осям применен одинаковый масштаб, то длина вектора, проведенного из начала координат в любую точку АФХ, в том же масштабе характеризует значение АЧХ, а угол между положительным направлением вещественной оси и вектором дает значение ФЧХ, причем

положительное направление отсчета фазовых углов принято против часовой стрелки. Из графика АФХ можно заметить, что ФЧХ является неоднозначной функцией, т.е. к ее значению можно добавить ±2πm радиан, где m=0,1,2,..., учитывая при этом физический смысл.

Формулы для W(jω) позволяют выразить АЧХ и ФЧХ через ВЧХ и МЧХ:

, рад при .

К значению ФЧХ в последней формуле добавляется –π при u(ω)<0 для получения углов во втором и третьем квадрантах комплексной плоскости.

АФХ связана с передаточной функцией формулой , т.е. переход требует частотной подстановки (замены аргумента) s=j .

Поэтому амплитудно – фазовую функцию называют частотной пере-даточной функцией (ЧПФ) и обозначают той же буквой, как и передаточную.

Покажем это на примере системы второго порядка с уравнением:

.

Подставим мгновенные значения комплексов и учтем, что k – тая производная от комплекса по времени

.

Найдя отношение комплексов и сравнив его с передаточной функцией, получим приведенную выше формулу связи ЧПФ с передаточной функцией.