Вопрос №1 Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексной переменной

Теорема 3. Пусть функция определена в некоторой области G. Для того, чтобы функция f(z) была дифференцируемой в точке z области G необходимо и достаточно, чтобы

1. функции u(x;y) и v(x;y) были дифференцируемы в точке z как функции двух действительных переменных;

2. в точке z выполнялись равенства

и . (1)

При выполнении всех условий теоремы производная может быть представлена в одном из следующих видов:

. (2)

Равенства (1) называются условиями Коши-Римана (или Даламбера-Эйлера).

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z области G. Тогда по теореме 1 ее приращение может быть представлено в виде

, где .

- комплексная функция от z. Следовательно, , где . - комплексное число, значит, , a,b . Тогда

f(z)=u+iv=(a+ib)(x+iy)+(₁+i₂)(x+iy)=ax-by+i(ay+bx)+

+₁x-₂y+i(₁y+₂x)=(ax-by+₁x-₂y)+i(ay+bx+₁y+₂x).

Отсюда

u=ax-by+₁x-₂y,

v=bx+ay+₂x+₁y, где . (3)

Из (3) следует, что

1) функции u(x;y) и v(x;y) дифференцируемы в точке (x;y),

2) их частные производные в точке (x;y):

, ,

, .

Отсюда , , т.е. удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Тогда для производной получаем:

.

2) Достаточность.

Пусть в точке z области G выполнены условия 1) и 2) теоремы. Придадим точке z=(x;y) приращение z=x+iy0. По условию

где . (4)

Приращение функции , соответствующее приращению , имеет вид: . Разделим на :

. Используя условия Коши-Римана, перейдём к частным производным по x:

. (5)

Т.к. , , и , то и (огр.БМФ).

Следовательно, переходя в (5) к , получим:

, т.е. f(z) дифференцируема в точке z.

Формулами (2) можно пользоваться для вычисления производных.

Вопрос №2 Понятие функции аналитической в точке и области. Гарм. функции. Необх. и достат. условие.

Определение. Функция f(z) называется аналитической (голоморфной, регулярной, правильной) в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки .

Заметим, что необходимо различать понятие дифференцируемости в точке и понятие аналитичности в точке:

f(z) дифференцируема в точке ,

f(z) аналитическая в точке

Определение. Функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Т.е. понятия дифференцируемости и аналитичности в области совпадают.

Примеры.

1) - аналитическая на .

2) аналитическая на .

3) аналитическая на .

4) нигде не является аналитической, так производная существует только в точке (см. пример 2 п.2).

Гармонические функции

Определение. Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка называется уравнением Лапласа.

Обозначим тогда -краткая запись уравнения Лапласа.

Определение. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической на области G, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка и на G удовлетворяет уравнению Лапласа.

Определение. Две гармонические функции, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряжёнными гармоническими функциями.

Позже будет доказано, что производная аналитической функции сама является аналитической функцией. Используем этот факт при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 5. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была аналитической в области G необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая часть были сопряжёнными гармоническими функциями.

Доказательство.

1) Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая в некоторой области G. Тогда по теореме 2 u(x,y) и v(x,y)-дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана:

.

Производная может быть представлена в одном из видов:

или .

Так как производная аналитической функции является аналитической функцией, то и тоже дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана.

Применим к паре функций и первое условие Коши– Римана, а для функций и - второе:

, ,

, (7) , (8)

т.е. u и v удовлетворяют уравнению Лапласа.

Покажем, что u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные второго порядка. Т.к. f(z) - аналитическая функция, то -тоже аналитическая функция.

Дифференцируя по x, получим .

Из (7), (8) .

Дифференцируя по y, получим ,

т.е. является аналитической функцией и может быть представлена в одном из видов:

.

Значит, все частные производные второго порядка являются (по теореме 2) дифференцируемыми в области G функциями, следовательно, они непрерывны.

Итак, u(x,y) и v(x,y) имеют в G непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяют уравнению Лапласа и условиям Коши – Римана. Значит, они являются сопряжёнными гармоническими функциями.

2. Пусть u(x,y) и v(x,y) какие – либо сопряжённые гармонические в области G функции. Так как они дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то по теореме 2 функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является дифференцируемой в G и, следовательно, она аналитическая в G. .

Из теоремы 5 следует, что действительной или мнимой частью аналитической функции может быть только гармоническая функция.

Например, не существует аналитической функции f(z), у которой Действительно, функция не является гармонической ни в какой области G.

, , , .

. Следовательно, только на прямой (не является областью). Значит, u(x,y) не является гармонической ни в какой области G из .

Вопрос №3. Теорема о восстановление аналитической функции по заданной действительной или мнимой части

Теорема 6. Для заданной функции u(x,y), гармонической в односвязной области G, существует бесконечное множество аналитических в G функций, действительной частью которых является u(x,y). Все они выражаются формулой

и отличаются между собой на чисто мнимую постоянную .

Доказательство.

Пусть дана гармоническая функция u(x,y). Для нахождения аналитической функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) необходимо найти мнимую часть v(x,y), которая дифференцируема в G и связана с u(x,y) условиями Коши – Римана:

, .

Так как u(x,y) известна, то известны её частные производные. Обозначим

,

Тогда условия Коши – Римана запишутся в виде:

. (9)

Т.к. u гармоническая функция, то она имеет непрерывные производные второго порядка, следовательно, существуют и непрерывны в G. Тогда уравнение Лапласа для функции u примет вид

. (10)

Т.к. непрерывны в G и удовлетворяют условию (10), то выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции v₀(x,y):

dv₀(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

и ,

где интеграл по кривой, соединяющий точки (x₀,y₀) и (x,y) в , не зависит от пути интегрирования. Имеем . Надо найти функцию v(x,y) удовлетворяющую условиям (9). Следовательно,

.

Учитывая обозначения, получим

. (11)

Следовательно, функция f(z)= u(x,y)+iv(x,y), где v(x,y) определяется соотношением (11), является аналитической функцией (u и v-дифференцируемы и связаны условиями Коши-Римана). Итак, _.

Аналогично можно показать, что для любой функции v(x,y), гармонической на области G существует аналитическая в G функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y), мнимая часть которой равна v(x,y). Эта функция определяется с точностью до постоянного слагаемого .

Вопрос №4. Линейная и дробно-линейная функция комплексного переменного. Свойства.

Определение. Линейной функцией называется функция вида , (1)

где а, b- комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga, а растяжение во всех точках равно . Если a=1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b. Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

- поворот на угол вокруг точки О;

- подобие с коэффициентом r;

- параллельный перенос на вектор .

Подойдем с другой стороны. Найдем число с, такое что . Отсюда, т.к. , то . Значит, при (и ) отображение (1) сводится к повороту всей плоскости вокруг точки на угол с последующим растяжением относительно этой точки в раз, (т.е. подобие с центром в точке и коэффициентом подобия ).

Дробно-линейная функция

Рассмотрим функцию вида , (2)

где a,b,c,d- комплексные числа.

Если , то получаем -линейную функцию.

Если , выделим в дроби целую часть

.

Если ,то получаем, что . В дальнейшем будем считать, что , .

Определение. Функция вида (2), где a, b, c, d - комплексные числа, такие что , , называется дробно-линейной.

Свойства дробно-линейного преобразования

1 Конформность

.

существует во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме точки и 0 (т.к. ). Функция является аналитической во всех конечных точках плоскости, кроме . Следовательно, отображение является конформным во всех конечных точках к плоскости, кроме .

Т.к. , .

Таким образом, функция определена на .

Итак, дробно-линейная функция отображает взаимно однозначно и конформно расширенную комплексную плоскость саму на себя.

2 Круговое свойство.

Рассмотрим астный случай . (3).

Положим , .Тогда (3) примет вид

Следовательно, отображение (3) разбивается на два отображения. Сначала точка переходит в точку .Т.к. эти точки лежат на одном луче, выходящем из начала координат и их модули связаны соотношением , то это преобразование инверсии относительно единичной окружности. Затем точка переходит в точку , симметричную ей относительно действительной оси.

Теорема. При отображении совокупность прямых и окружностей на комплексной плоскости переходит в себя.

Доказательство.

Уравнение для любой прямой или окружности имеет вид:

А(x²+y²)+2Bx+2Cy+D=0. (4)

При А=0 и В, С 0 одновременно это уравнение определяет прямую, при А=0 и В²+С² -AD>0 – окружность.

Заменим , , , (5)

получим .

Обозначим , тогда

. (6)

Если А=0, а Е0, то уравнение (6) определяет прямую, если А0 и , то окружность. Т.е. любая окружность или прямая на комплексной плоскости определяется уравнением (6).

Верно и обратное: уравнение вида (6) определяет прямую или окружность на комплексной плоскости. Для доказательства надо в (6) сделать замену по формулам (5). Получим (4) , которое является уравнением либо прямой, либо окружности.

При преобразовании имеем . Линия (6) перейдет в линию:

. (7)

Уравнение (7) имеет тот же вид, что и (6), с заменой A на D, D на А, E на . Следовательно, при D=0 – это уравнение прямой, а при - уравнение окружности.

Теорема 2. Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w=L(z) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность).

Доказательство.

.

Следовательно, w=L(z) является композицией трех отображений: t=cz+d, , w=kq+l, где , . Первое и третье - линейные отображения. Они и отображение переводят в себя совокупность прямых и окружностей.

Замечание. Несложно установить, что при отображении w=L(z) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w), а все прямые или окружности, не проходящие через точку , - в окружности плоскости (w).

3 Инвариантность двойного отношения

Дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех параметров (например, если с0, то ими могут быть ). Поэтому это отображение определяется заданием образов трех точек. Выведем формулу дробно-линейного преобразования.

Пусть , k=1,2,3. Пусть . Образуем разности

,

, ,

, .

Разделим почленно первое уравнение на второе и третье и на четвертое.

,

.

Разделим теперь снова первое уравнение на второе:

. (8)

Это и есть искомое линейное преобразование.

Т.к. за z₁, z₂, z₃, z и w₁, w₂, w₃, w могут быть приняты любые четверки точек, соответствующие друг другу при дробно-линейном преобразовании, то (8) выражает следующее свойство:

отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек.

4 Сохранение симметрии

Если точки z₁ и z₂ симметричны относительно некоторой прямой или окружности , то при любом дробно-линейном отображении w=L(z) их образы w₁ и w₂ будут симметричны относительно образа : .

В случае, когда  - окружность, преобразование называют инверсией.

5 Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

Е сли при дробно-линейном отображении прямая или окружность  переходит в прямую или окружность  ,то область D, которую ограничивает , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии  область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии  область D тоже должна оказаться слева (справа).

Вопрос №5. Определение показательной функции и ее свойства.

Показательной функцией комплексного переменного называется функция вида .

Свойства expz

1 Если , то expz=expx=e^x, т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного.

2

.

С другой стороны,

.

Следовательно, .

Аналогичное свойство имеет место для функции действительного переменного: .

Назовём комплексное число z показателем функции expz. Следовательно, при перемножении двух значений показательной функции показатели можно складывать. В связи с этим можно вместе с обозначением expz использовать обозначение e^z: .

3 Из свойства 2 следует . С другой стороны . Следовательно,

.

4 _.

.

Т.к. , то _.

.

5 expz -периодическая функция с основным периодом 2i, т.е.

exp(z+2i)=expz.

.

Покажем что 2i -основной период функции expz, т.е. любой другой период имеет вид 2ki,где .

Действительно, пусть - период expz. Тогда exp(z+w)=expz z. Значит и при z=0 это равенство выполнено.

Для z=0: . Отсюда

что и требовалось доказать.

6 Если так, что ,то .

Если так, что , то .

(6 следует из того, что ).

Выражение лишено смысла. Отсюда, в частности, следует, что expz не совпадает ни с одним многочленом . Целые функции, отличные от многочленов, называются трансцендентными целыми функциями. Следовательно expz - трансцендентная целая функция.

7 Показательная функция является аналитической на _, (expz)=expz.

Вопрос №6. Тригонометрические функции. Гиперболические функции.

Т. к. , то при сложении и вычитании соответственно получим:

, (14)

Формулы (14) – формулы Эйлера, верные .

Если , то функции , определены и являются аналитическими, следовательно они целые. При они принимают действительные значения, совпадающие соответственно с cosx и sinx. Поэтому по определению первую обозначают через cosz, а вторую – sinz и называют косинусом и синусом z.

Определение. (15)

Формулы (15) тоже называются формулами Эйлера. Если вторую умножить на i и сложить с первой, то получим

– (16) – тоже формула Эйлера.

Свойства cosz и sinz

1 Из (15) следует cos(-z)=cosz, sin(-z)=sinz , следовательно cosz – чётная, sinz – нечётная.

2 cosz и sinz – периодические с периодом 2.

,

т. к. 2i– основной период expz.

Покажем, что 2 – основной период cosz и sinz.

Пусть w – период cosz. Следовательно, cos(z+w)=cosz.

Если , то .

Следовательно, (по определению cosz).

Отсюда  .

Тогда, поскольку из expz=w следует , то

. Значит w=k.

Если z=0, то (чётное число).

Значит w=2m. Следовательно, 2 – основной период функции cosz.

Для sinz аналогично.

3 Для sinz и cosz справедливы основные формулы тригонометрии:

а) (17)

Заменяя в (16) z на , получим

Следовательно,

.

Заменяя здесь z₁ и z₂ на -z₁ и -z₂ и учитывая свойство 1, получим

.

Складывая и вычитая две последних формулы, получим (17).

Формулы (17) являются основными в теории тригонометрических функций.

б) Из них следуют «формулы приведения».

Положим в (17) z₁=z, . Тогда

, .

Положим в (17) z₁=z, . Следовательно,

, .

в) Положим в 1-й из формул (17) z₁=z, z₂=-z, получим

. (18)

4 Из (18) не следует, что .

5 cosz=0 при , sinz=0 при .

cosz=0

Следовательно, .

Для sinz=0 аналогично.

6 Функции cosz и sinz аналитические в .

,

.

Определение. .

Свойства tgz и ctgz

1. , .

2. tgz=tgx, ctgz=ctgx при .

3. tg(-z)=-tgz, ctg(-z)=-ctgz .

4. tgz и ctgz – периодические с периодом .

5. tgz и ctgz – непрерывны в своих областях определения.

6. tgz и ctgz – аналитические в своих областях определения,

, .

7. Нули tgz совпадают с нулями sinz, нули ctgz – с нулями cosz.

8. tgz и ctgz принимают любые значения из , кроме z=i и z=-i.

.

Следовательно,

. (*)

Если w=i, то (*) примет вид – нет решений;

если w=-i, то (*): 0=2 – не имеет смысла. Т. е. .

Пусть w=A ( ), тогда

.

Следовательно, существует точка z₀: . Т. к. , то, следовательно, существует .

Гиперболические функции

Определение. Гиперболический косинус ,

гиперболический синус . (19)

Свойства chz и shz

1 Для chz=chx и shz=shx.

2 ch(-z)=chz и sh(-z)=-shz.

3 chz=cos(iz) и shz=-isin(iz) (20)

(или sin(iz)=ishz)

,

.

4 Из (20) следует .

5 chz и shz аналитические в

6 chz и shz - периодические с периодом .

Вернемся к sinz и cosz.

Определим их действительные, мнимые части и модули.

Покажем, что и - неограниченные функции.

,

.

Отсюда следует

,

.

(эти соотношения можно получить из (15)).

Т.к. , то из последних соотношений заключаем:

при , т. е. sinz и cosz- неограниченные функции.

Вопрос 7 Однолистные и многолистные аналитических функций. Логарифмические и степенные функции. Радикал.

Пусть функция w=f(z) - аналитическая в области D. Пусть G - образ области D при отображении w=f(z), т.е. G=f(D).

Определение. Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то аналитическая функция w=f(z) называется однолистной в области D.

Другими словами, однолистная функция w=f(z) взаимно однозначно отображает область D на G.

При однолистном отображении w=f(z) прообраз любой точки wG состоит из единственного элемента: : .

Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной , определенную на G. Она обозначается и называется обратной функцией.

Справедливы тождества:

и имеет место

Теорема. Если f(z)- однолистная и аналитическая на D, и на D, то - аналитическая на G=f(D).

Определение. Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f(z) называют многолистной в области D.

Если отображение w=f(z) является многолистным на D (например, w=e^z, w=sinz, w=cosz, w=zⁿ), то в этом случае некоторым значениям wG соответствует более, чем одна точка zD: f(z)=w.

Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Определение. Функция w=f(z) называется многозначной функцией на множестве E, если некоторыми значениям zE соответствует более чем одно значение w.

Теорема. Если аналитическая функция w=f(z) многолистна в области D, то эту область можно разбить на конечное или счетное множество областей, в каждой из которых функция f(z) является однолистной.

К многозначным функциям неприменимы понятия аналитичности и непрерывности. Они могут применяться только к однозначным функциям. Для того, чтобы их использовать, выделяют однозначные ветви многозначных функций.

Определение. Однозначная на области D функция w=f(z) называется ветвью многозначной функции F, если значение f в любой точке zD совпадает с одним из значений F в этой точке.

Е сли функция w=f(z) многолистна на D, то обратная функция будет многозначной. Чтобы выделить однозначную ветвь этой функции поступают, следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w=f(z) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка zD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w=f(z). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Н айдем области однолистности функции expz. Выберем

.

Тогда областью однолистности функции будут полоса шириной не больше , параллельная действительной оси.

Разобьем плоскость на области однолистности: .

_{Если, например,} , то .

Логарифмическая функция

Как было сказано, множество всех корней уравнения w=e^z (w ) представляется формулой

z=ln|w|+iArgw=ln|w|+i(argw+2k) ), .

Значит, функция, обратная к z=e^w=e^u(cosv+isinv), определена z0, z и задается формулой

w=ln|z|+iArgz.

Эта функция многозначная (бесконечнозначная), называется логарифмической и обозначается Lnz:

w=Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(аrgz+2k).

Назовем значение логарифма ln|z|+iargz главным значением и обозначим через lnz:

lnz=ln|z|+iargz.

Тогда Lnz=lnz+2ki, .

Следовательно, любое комплексное число z0, z имеет бесконечное множество логарифмов (значений логарифмической функции), из которых любые два отличаются на целое кратное 2 i. Если , то Lnz=ln|z| . Но для этих существует еще бесконечно много значений логарифма. Например, Ln2=ln2+2ki, .

Все логарифмы комплексного числа z имеют одну и ту же действительную часть ln|z|, а мнимые части отличаются на кратное 2. Следовательно, все логарифмы комплексного числа z расположены на комплексной плоскости на одной прямой параллельной оси Оy на расстоянии 2 друг от друга.

Пример. Ln1=ln1+2k i=2k i, .

Свойства логарифмической функции

1 Ln(z₁ z₂)=Lnz₁+Lnz₂.

Ln(z₁ z₂)=ln|z₁ z₂|+i Arg(z₁ z₂)=ln|z₁|+ln|z₂|+i(Argz₁+Argz₂)=Lnz₁+Lnz₂.

2 .

.

Замечание. Эти равенства означают равенство множеств (в том смысле, что множества состоят из одних и тех же элементов). Отсюда следует что, например, Lnz² 2Lnz

Например, Ln(-1)²=Ln1=2ki,

2Ln(-1)=2(+2k)i=i(2+4k),

Ln(-1)² 2Ln(-1): 4i Ln(-1)², но 4i2Ln(-1).

Степенная функция и радикал

Определение. Степенной называется функция вида .

Если , то . Следовательно,

- многолистная функция.

, при . Следовательно, -аналитическая в функция.

Функция обладает основными свойствами функции действительного переменного:

.

Найдем области однолистности функции _. Выберем произвольные ,

С ледовательно, областью однолистности функции будет любой угол с вершиной в начале координат и раствором :

Если , то

.

Радикал определяется как функция, обратную к функции . Пусть т.е. , тогда

.

Следовательно, радикал имеет n различных значений, которые выражаются формулой

Следовательно, функция является многозначной (n – значной). Эти n значений располагаются в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность . При и получаем по одному значению функции и .

_{Чтобы выделить однозначную ветвь, достаточно указать, в какой области однолистности изменяется} w. Мы установили выше, что областью однолистности функции является угол с вершиной в начале координат и раствором :

Любой луч плоскости ( ) при отображении переходит в луч плоскости (z): . Если луч пробегает область против хода часовой стрелки, то луч пробежит всю плоскость (z) от до . Следовательно, любая из областей однолистности перейдет в одну и ту же область плоскости (z): угол раствора 2π, границей которой служит луч .

Т аким образом, в области получаем n однозначных ветвей функции _{Каждая из них определяется условием, что ее значения} принадлежат области .

Будем обозначать эти ветви .

Вопрос №8. Достаточное условие существования интеграла

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при (или при ), не зависящий ни от способа разбиения T кривой L, ни от выбора точек , то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой L и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция f(z) называется интегрируемой по кривой L.

Теорема 1 (достаточное условие существования интеграла от функции комплексного переменного). Пусть L – простая гладкая кривая на , f(z)=u(x;y)+iv(x;y) непрерывна на L. Тогда существует , причем справедливо равенство:

. (2)

Доказательство.

Выберем произвольно разбиение T кривой L на дуги , на каждой выберем произвольно точку . Составим интегральную сумму . Выделим в действительную и мнимые части:

z=x+iy, f(z)=u(x;y)+iv(x;y), , , , , . Тогда

. (3)

В правой части (3) стоят интегральные суммы для криволинейных интегралов II типа двух действительных функций u(x;y) и v(x;y). Если и , то и (или ).

Т.к. L – гладкая кривая, а функции u(x;y) и v(x;y) непрерывны на L, то

и .

Тогда существует предел при левой части (3), т.е. существует .

Переходя в (3) к пределу при , получим (2).

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного

Пусть вначале f(t)=u(t)+iv(t) –комплексно-значная функция действительной переменной. Тогда интеграл от f(t) по отрезку [a;b] определяется следующим образом:

.

Рассмотрим теперь интеграл от функции комплексного переменного по кривой L.

Теорема 2.Пусть L – простая гладкая кривая, заданная параметрически:

L: z(t)=x(t)+iy(t), t, функция f(z) непрерывна на L. Тогда справедливо равенство: (где ).

Доказательство.

Т.к. выполнены условия теоремы 1, то имеет место равенство (2) . Каждый криволинейный интеграл II типа можно заменить по формуле, сводящей его вычисление к вычислению обычного определенного интеграла:

= .

Вопрос №9. Необходимое и достаточное условие независимости интеграла. Интегральная теорема Коши.

Рассмотрим . Он зависит от функции f(z) и от вида кривой L. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(z), чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования L, а определялся начальной и конечной точками кривой.

Как и в случае криволинейного интеграла II рода независимость интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру.

Теорема. не зависит от пути интегрирования на области D тогда и только тогда, когда по любому кусочно-гладкому контуру .

Доказательство.

( ) Пусть , где и -кривые, лежащие в D и соединяющие точки A и B. Тогда , где .

( ) Пусть , где C - кусочно-гладкий замкнутый контур, . Разобьем C точками A и B на кривые и так, что . Тогда

Для доказательства интегральной теоремы Коши нам понадобится следующая

Л емма. Пусть f(z)- непрерывная в области G функция, L - произвольная кусочно - гладкая линия, LG. Тогда >0 существует ломаная P, вписанная в L, PG, такая что

.

Доказательство.

Разобьём L на частичные дуги , ,…, s_k – длина ). Впишем в L ломаную P, звенья которой стягивают дуги . Точки z₀, z₁,…,z_n – вершины ломаной P. Звенья ломаной (и их длины) обозначим через l_k , k=

Рассмотрим сумму

S=f(z₁)z₁+f(z₂)z₂+…+f(z_n)z_n . (4)

S является интегральной суммой для интеграла , в которой в качестве точек _k взяты точки z_k. Так как f(z) – непрерывна в G, а L – кусочно – гладкая линия, то ( ), т.е. >0 ₁>0: T: <₁ 

. (5),

Оценим . Так как , то (4) примет вид:

. (6)

С другой стороны, . (7)

Вычтем (6) из (7):

.

Так как функция f(z) непрерывна в G, то она равномерно непрерывна на любом ограниченном замкнутом множестве точек из G. Следовательно, она непрерывна на ломаной P. По определению равномерной непрерывности: для выбранного числа >0 ₂>0: z, zP: |z-z|<₂ выполнено . Пусть <₂. Так как k на звене l_k |z-z_k|< l_k<<₂, то . Тогда

. (8)

Выберем =min{₁;₂}. Из (5) и (8) получим: >0 >0: T: < выполнено

.

Итак, в линию L всегда можно вписать ломаную P так, что разность значений будет меньше любого наперёд заданного числа.

I. Случай односвязной области

Теорема (Коши для односвяз.). Если f(z) аналитическая в односвязной области G функция, то , где L- любой замкнутый контур, лежащий в G.

Доказательство.

Согласно лемме в линию L можно вписать ломаную P так, что

.

Следовательно, если мы докажем, что , то отсюда будет следовать что и, значит, .

Следовательно, теорему достаточно доказать для случая, когда контуром интегрирования является ломаная P.

Далее: данный многоугольник с периметром P можно разбить на треугольники. Тогда , так как по AC, DA интегрирование совершается два раза в противоположных направлениях. Следовательно, если допустить, что теорема Коши доказана для случая, когда контуром интегрирования является любой треугольник, то из последнего равенства будет следовать, что .

И так, докажем, что если f(z) – аналитическая в области G функция, то , где - периметр любого треугольника, лежащего в G.

Положим и докажем, что M=0.

Р азделим стороны треугольника пополам и соединим точки деления. Треугольник, таким образом, разобьётся на четыре равных треугольника ₁, ₂, ₃, ₄.

.

Так как , то существует периметр _k:

.

С этим треугольником _k=⁽¹⁾ поступим так же, как и с , разбив на четыре разных треугольника. Следовательно, существует треугольник с периметром ⁽²⁾⁽¹⁾: .

Этот процесс продолжим неограниченно, получим последовательность треугольников с периметрами =⁽⁰⁾, ⁽¹⁾, ⁽²⁾,…, ⁽ⁿ⁾,…, из которых каждый содержит следующий и таких, что:

(n=0,1,…). (9)

Обозначим периметр  через U. Тогда периметр .

Оценим . Имеем {⁽ⁿ⁾} – последовательность вложенных треугольников. Их периметры стремятся к 0 при n. Следовательно, существует точка z₀, принадлежащая всем треугольникам последовательности {⁽ⁿ⁾}. Так как z₀G, а f(z)-аналитическая в G, то . Следовательно, >0 ()>0: z: |z-z₀|< выполнено , отсюда

. (10)

Начиная с достаточно большого номера n₀, треугольник ⁽ⁿ⁾ будет находиться в круге и, следовательно, для оценки можно использовать (10). Заметим, что

,

так как и (см. пример о ).

Тогда .

Так как z₀⁽ⁿ⁾, то (расстояние между z и z₀ меньше периметра).

Следовательно,

. (11)

Из (9) и (11) следует . Так как - произвольное сколь угодно малое число, то переходя к пределу при  0, получим M=0. Следовательно, .

II. Случай многосвязной области

Пусть D- многосвязная область, граница которой L состоит из внешнего контура L₀ и внутренних L₁, L₂,… L_n, , (D- (n+1)-связная область).

Определение. Положительным обходом границы L многосвязной области D называется такое направление обхода каждого контура, при котором область D остаётся всё время слева.

Теорема (Коши для многосвяз.). Пусть f(z) – аналитическая в области G, D – многосвязная область, которая вместе со своей границей L целиком лежит в G. Т огда , где интеграл берётся в положительном направлении.

Доказательство.

Рассмотрим случай n=2: . Соединим контуры L₁ и L₂ c внешним контуром L₀ линиями l₁, l₂ (l₁ и l₂ выберем так, чтобы они не пересекались). Т.о., мы получим односвязную область D^*, которая ограничена кривыми L₀, L₁, L₂, l₁, l₂, причём l₁, l₂ проходятся дважды в противоположных направлениях.

. – граница D^*. По предыдущей теореме Пользуясь свойством аддитивности интеграла получим:

Следствие. Если l₁ и l₂ кусочно – гладкие замкнутые кривые ограничивающие кольцеобразную область в области G, и функция f(z) – аналитическая в G, то .

Вопрос №10. Первообразная. Формула ньютона-Лейбница.

Если f(z) аналитическая в односвязной области D функция, то, как было установлено, значение , взятого по любой кусочно – гладкой кривой LD, не зависит от вида кривой, а определяется лишь начальной и конечной точками кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной кусочно – гладкой кривой L, соединяющей точки z₀ и z, используют обозначение , где z₀ и z называются соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Зафиксируем z₀, тогда зависит только от точки z, т.е. является однозначной функцией, определённой на D, т.е. .

Теорема 1. Пусть f(z)-функция, непрерывная в области D, для которой интеграл вдоль любой кусочно – гладкой кривой LD не зависит от вида кривой, а определяется только начальной и конечной точками кривой. Тогда является аналитической на D функцией и F'(z)=f(z) .

Доказательство.

Пусть L D-кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки z₀ и z. Выберем ∆z≠0 так, чтобы z+∆z D.

.

. (1)

Т.к. , то

. (2)

Интегралы (1) и (2) не зависят от пути интегрирования, поэтому в качестве пути от z до z+∆z можно взять прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки. Из (1) и (2) следует:

. (3)

Зафиксируем >0. Так как f(z) непрерывна на D, то для любой точки z D выполнено

 . (4)

В равенстве (3) . Следовательно, . Поэтому если , то , значит, выполнено (4).

Тогда из (3) следует

.

Таким образом, .

По определению это означает, что ,

то есть F'(z)=f(z) .

Замечание 1. Теорему 1 можно было сформулировать следующим образом:

если f(z) аналитическая в области D функция, то - аналитическая функция и F'(z)=f(z), где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z₀ и z.

Действительно, если f(z) – аналитическая функция, то не зависит от пути интегрирования.

Определение. Функция F(z) называется первообразной для функции f(z) на области G, если F'(z)=f(z) .

Из определения следует, что если F(z) первообразная для f(z) на D, то и функция F(z)+C является первообразной для f(z) на D ( ).

Следовательно, если выполнены условия теоремы 1, то функция f(z) имеет первообразную.

Теорема 2. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, и F(z), (z)-две первообразные для f(z) на D, то справедливо F(z)-Φ(z)=С=const.

Доказательство.

Пусть F(z) и Φ(z) - две первообразные функции f(z) на D. Рассмотрим функцию w(z)=F(z)-Φ(z) , w(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Тогда w(z)=F'(z)-Φ'(z)=f(z)-f(z)=0 .

Так как , то и .

Так как w(z) - аналитическая функция, то и .

Итак, ,  u=aconst,

,  v=bconst.

Тогда w(z)=a+ibconst.

Значит, F(z)-Φ(z)=С.

Следствие 1. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то любая её первообразная имеет вид

, где . (5)

Следствие 2. Положим в (5) z=z₀, тогда C=F(z₀).Заменяя в (5) C на F(z₀) получим:

- формула Ньютона-Лейбница.

Таким образом, интеграл от аналитической функции комплексной переменной вычисляется с помощью тех же методов и формул, что и в случае функции действительной переменной.

Вопрос №11. Интегральная формула Коши и ее следствия

Интегральная формула Коши

Теорема. Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной области D, L-произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D. Тогда для любой точки z₀, лежащей внутри контура L, справедлива формула:

, (1)

где L обходится в положительном направлении.

(1) - интегральная формула Коши. Она выражает значения аналитической функции внутри контура через её значения на контуре.

Доказательство.

Пусть z₀- произвольная точка, лежащая внутри контура L. Рассмотрим окружность γ_r: |z-z₀|=r , где r выберем так, чтобы γ_r лежала внутри L. В двусвязной области, ограниченной контурами L и γ_r, функция является аналитической, следовательно, она аналитическая и на области . Тогда по следствию из теоремы Коши:

. (2)

Из (2) следует, что значение не зависит от радиуса окружности γ_r.

Из (2) следует, что для доказательства (1) достаточно показать, что

. (3)

Так как , то или

. (4)

Из (3) и (4) следует, что для доказательства (1) надо доказать, что

. (5)

Заметим, что интеграл в (5) не зависит от r .

Возьмем . Так как f(z) аналитическая на D, то f(z) непрерывна в точке z₀D. Тогда выполнено .

Если γ_r такая, что r<δ, то выполнено |z-z₀|=r<δ  |f(z)-f(z₀)|<ε.

. (6)

Так как ε>0 – произвольное сколь угодно малое число, а значение интеграла не зависит от r, то (6) может быть выполнено только если , то есть выполнено (5), а значит, выполнено (1).

Следствие . Если две аналитические в односвязной области D функции f(z) и g(z) совпадают на замкнутом контуре LD, то они совпадают и внутри контура L.

Замечание. Если точка z₀ лежит вне контура L, то .

Действительно, в этом случае является аналитической не только на L, но и внутри L, следовательно, применима интегральная формула Коши, согласно которой этот интеграл равен 0.

Итак,