1) Необходимость.
Пусть z0 - полюс m- го порядка функции f(z). Тогда по определению разложение f(z) в имеет вид
,
где . Умножим обе части на :
.
Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда, , тогда . Отсюда
, где , F(z) - аналитическая функция.
2) Достаточность.
Пусть существует функция F(z), аналитическая в и , такая, что . Так как F(z) - аналитическая, то она разлагается в ряд Тейлора с центром в точке z0:
, причём . Тогда
.
Главная часть содержит слагаемых, следовательно, z0- полюс -го порядка функции f(z).
Теорема 4. Изолированная особая точка z0 является полюсом функции f(z) тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть z0 полюс функции f(z), тогда по теореме 3 существует функция F(z), аналитическая в , такая, что и . Перейдем к :
, так как , а =0.
2) Достаточность.
Пусть z0 - изолированная особая точка и . Тогда . Следовательно, ограничена в окрестности точки z0, значит, по теореме 1 z0-устранимая особая точка для функции и , где -коэффициент в разложении Лорана для функции (главная часть=0), то есть
.
Пусть - первый ненулевой коэффициент в ряде справа (то есть ). Тогда
.
Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда и , следовательно, . Отсюда . Обозначим - аналитическая в и . Тогда , и по теореме 3 z0 - полюс -го порядка функции .
Из теоремы 3 следует также
Теорема 5. Точка z0 является полюсом - го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда она является нулём -го порядка для функции при zz0.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть z0 - полюс m-го порядка функции f(z). Тогда по теореме 3 , где . Тогда .
Так как , то – аналитическая в точке z0 и . Следовательно, z0- нуль -го порядка функции .
2) Достаточность.
Пусть z0 - нуль – го порядка функции . Тогда , где - аналитическая в точке z0 и . Отсюда , где - аналитическая в точке z0 и . Тогда по теореме 3 z0 - полюс -го порядка функции f(z).
-
Теорема 6 (А.В.Сохоцкого). Каково бы ни было комплексное число (конечное или бесконечное), найдётся такая последовательность точек {zn}, сходящаяся к существенно особой точке z0 , что .
(Короче можно сформировать следующим образом: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки f(z) принимает значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу, конечному или бесконечному.)
Доказательство.
1) А=. Тогда утверждение справедливо, т.к. функция не ограничена в окрестности существенно особой точки (следовательно, ).
2) A . От противного. Пусть в произвольной окрестности нет точек, в которых значения функции сколь угодно близки к А. Значит, и : . Положим - аналитическая в и , т.е. ограничена по модулю. Значит, по теореме 1 z0 - устранимая особая точка функции . Следовательно, . Но так как f(z) не ограничена по модулю ни в какой окрестности точки z0, то , то есть функция имеет нуль в точке z0. А значит, функция f(z)-A (по теореме 5) имеет полюс в точке z0. Полученное противоречие доказывает теорему.