Вопрос 2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригоном. И показательная форма записи комплексного числа. Действия с компл. Числами, записан…

Длина r вектора ОМ называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|.

r=|z|= .

Угол φ - угол между положительным направлением оси ОХ и вектором ОМ называется аргументом комплексного числа z и обозначается: Arg z (-∞<φ< ∞).

Для числа z=0 аргумент не определён.

Для любого комплексного числа (кроме z=0) Arg z может быть найден из системы

которая имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Все они содержатся в формуле φ=φ₀+2πk, k , где φ₀–одно из решений системы.

начение φ₀, удовлетворяющее условию -π <φ₀<π , называется главным значением аргумента и обозначается: arg z. Таким образом,

Arg z=argz+2πk, k .

Очевидно, что tg(arg z)=

Так как x=rcosφ, y=rsinφ, то z=x+i·y=rcosφ+i·rsinφ, z=r(cosφ+i·sinφ) -

тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Рассмотрим действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме

Пусть z1=r(cosφ+i·sinφ), z2=ρ(cosψ+i·sinψ).

z1·z2=rρ(cosφ+i·sinφ)·(cosψ+i·sinψ)=

=rρ(cosφcosψ-sinφsinψ+i(sinφcosψ+cosφsinψ))=rρ(cos(φ+ψ)+sin(φ+ψ)).

То есть

|z1·z2 =|z1|·|z2|, Arg(z1·z2)=Argz1+Argz2.

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Это правило распространяется на случай любого конечного числа сомножителей.

В частности, если все сомножители равны, получим

|zⁿ|=|z|ⁿ, Arg(zⁿ)=nArg(z), или

zⁿ=(r(cosφ+isinφ))ⁿ=rⁿ(cos(nφ)+isin(nφ)) – формула Муавра.

Пусть z ≠0. Корнем натуральной степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w, которое будучи возведено в n-ю степень даёт число z, то есть wⁿ=z.

Очевидно, | |= , .

Или если z= r(cosφ+i·sinφ), то

= , k = 0, 1, 2, …, n-1, -π<φ≤π.

То есть среди значений различными являются только n. Геометрически они изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в точке О(0;0), радиуса .

Определение. Частным комплексного числа z₁ и z₂ ≠0 называется комплексное число z, такое что z·z₂=z₁.

Из определения частного и правила умножений комплексных чисел

= , Arg =Argz1-Argz2.

Итак, если z1=r(cosφ+i·sinφ), z2=ρ(cosψ+i·sinψ).

= (cos(φ-ψ)+i·sin(φ-ψ))

.

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя.

Используя формулу Эйлера e^iφ=cosφ+i·sinφ

Из тригонометрической формы записи комплексного числа получаем показательная форму записи z=re^iφ.

В показательной форме операции над комплексными числами принимают более наглядный вид. Пусть z1= re^iφ, z2=ρe^iψ. Тогда

z 1z2=rρe^i(φ+ψ), zⁿ=rⁿ e^inφ,

= ,-π<φ≤π, k=1, 2, …, n-1, = , z20.

Вопрос 3. Определение предела послед. Комплексных чисел и его геом.Смысл. Необх. И достат. Условие. Критерий Коши. Бесконечно удаленная точка.

Пусть {z_n}: z₁, z₂, …, z_n, … - последовательность комплексных чисел.

Определение. Комплексное число z₀ называется пределом числовой последовательности {z_n}, если ρ(z_n ,z₀)=|z_n-z₀| 0.

Это можно записать следующим образом:

ε>0 N : n>N  |z_n-z₀|<ε.

Геометрический смысл. Точка z₀ является предельной точкой последовательности {z_n}, если какой бы малый круг радиуса ε с центром в точке z₀ ни взять, всегда можно указать номер N, начиная с которого все члены последовательности лежат в этом круге.

Определение. Если последовательность {z_n} имеет конечный предел, то она называется сходящейся.

Теорема 1. .

Доказательство.

1) Пусть . Тогда ε>0 N :n>N выполнено |z_n-z₀|<ε.

Так как |Re(z_n-z₀)|≤|z_n-z₀|<ε, то , отсюда .

Так как |Im(z_n-z₀)|≤|z_n-z₀|<ε, то , отсюда .

2) Пусть и .

По определению ε>0 N₁ : n>N₁ |Rez_n–Rez₀|=|Re(z_n-z₀)|< ,

ε>0 N₂ : n>N₂  |Imz_n–Imz₀|=|Im(z_n-z₀)|< .

Пусть N=max{N₁,N₂}. Тогда n>N для выбранного ε>0

|z_n-z₀|<|Re(z_n-z₀)|+|Im(z_n-z₀)|< , следовательно .

Теорема 3 (критерий Коши сходимости последовательности комплексных чисел).

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел {z_n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ε>0 N : n>N, m выполнялось |z_n+m–z_n|<ε.

Доказательство.

1) Пусть . Тогда ε>0 N : n>N выполняется |z_n–z|< .

Тогда |z_n+m–z_n|=|z_n+m–z+z-z_n|≤|z_n+m–z|+|z_n–z|< + =ε m .

2) Пусть ε>0 N : n>N, m выполняется |z_n+m–z_n|<ε. Тогда |Re(z_n+m–z_n)|=|Rez_n+m –Rez_n|<ε и |Im(z_n+m–z_n)|=|Imz_n+m–Imz_n|<ε. Следовательно, последовательности действительных чисел {Rez_n и {Imz_n фундаментальные. Согласно критерию Коши сходимости последовательности действительных чисел они сходятся (последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда она сходится). То есть  и  Тогда по теореме 1  . Следовательно, {z_n } сходится.

Дополним множество элементом ∞, который называют бесконечностью. Элементу ∞ поставим в соответствие бесконечно удаленную точку на комплексной плоскости.

Определение. ε – окрестностью точки ∞ называется внешность круга с центром в точке О(0;0) и радиуса ε: |z|>ε.

Определение. ε>0 N : n>N выполняется |z_n|>ε.

Геометрически это означает, что ε, сколь угодно большого, все члены последовательности {z_n }, начиная с некоторого номера N, лежат вне круга с центром в точке (0;0), радиуса ε, то есть в окрестности точки ∞.

Из определения следует, что условие эквивалентно условию . Присоединяя к множеству элемент ∞, получим расширенное множество комплексных чисел .

Комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью. Бесконечно удаленная точка, как и нулевая, не имеет аргумента. Не определены также понятия действительной и мнимой части точки ∞. Многие свойства бесконечно больших последовательностей действительных чисел сохраняются и в :

1) a±∞=∞, 3) a∞=∞ (а0), 5) ,

2) ∞+∞=∞, 4) ∞∞=∞, 6) (а0).

Ч тобы получить наглядное изображение расширенной комплексной плоскости, рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке О. Обозначим через Р точку сферы, диаметрально противоположную точке О. Каждой точке z комплексной плоскости поставим в соответствие точку М сферы, которая является пересечением сферы S и прямой, соединяющей точки Р и z. Таким образом, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками сферы с выколотой точкой Р (т. к. точке Р не соответствует ни какая конечная точка плоскости ).

Рассмотрим последовательность {z_n} комплексных чисел: z_n ∞. Каждой точке z_n этой последовательности соответствует точка М_n сферы. Очевидно М_n Р. Поэтому точку Р принимают за изображение бесконечно удаленной точки (т.е. точке ∞ соответствует точка Р сферы).

Построенное взаимно-однозначное соответствие между точками расширенной комплексной плоскости и точками сферы S называется стереографической проекцией, а сфера S – сферой Римана. Таким образом, комплексные числа расширенной комплексной плоскости можно изобразить точками сферы. Преимущество в том, что наглядно изображается точка ∞.