Вопрос 13. Изолированные особые точки и их классификация.
Определение. Точка z0 называется правильной (регулярной) точкой функции f(z), если f(z) является аналитической в точке z0 (т.е. является аналитической в некоторой окрестности точки z0).
Определение. Точка z0 называется особой точкой функции f(z), если f(z) не является аналитической в точке z0 (т.е. не является аналитической ни в какой окрестности точки z0 )
Пусть f(z) однозначная функция.
Определение.
Точка
z0
называется изолированной
особой точкой
функции
f(z),
если f(z)
является аналитической в некоторой
проколотой окрестности точки
z0
,
но не определена или не дифференцируема
в самой точке z0
(т.е. z0
– изолированная особая точка, если
z0
- особая точка и f(z)
- аналитическая в
).
Классификация изолированных особых точек
Пусть
z0-
изолированная особая точка функции
f(z).Тогда
f(z)
аналитическая в кольце
.
Значит, в D
функция разлагается в ряд Лорана с
центром в точке z0.
(1)
Возможны 3 случая.
1) Разложение Лорана (1) не содержит отрицательных степеней. z-z0 (т.е. главная часть равна нулю). В этом случае z0 называется устранимой особой точкой.
2) Разложение Лорана содержит конечное число конечное число отрицательных степеней z-z0 (т.е. главная часть состоит из конечного числа слагаемых). В этом случае z0 называется полюсом.
3) Разложение Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней z-z0 (т.е. главная часть содержит бесконечно много слагаемых). Тогда z0-существенно особая точка функции f(z).
Из определения следует, что
1) В
окрестности устранимой особой точки
.
2) В
окрестности полюса
.
Число m называется порядком полюса. Если m=1, то полюс называется простым.
В окрестности существенно особой точки
.
Вопрос 14. Бесконечно удаленная изолированная особая точка
Бесконечно удаленная изолированная особая точка
До сих пор мы рассматривали только конечные изолированные особые точки. Бесконечно удаленная точка всегда является особой точкой функции f(z).
Определение
1. Точка
z=
называется бесконечно
удаленной
изолированной
особой точкой
функции
f(z),
если
,
такое что
f(z)
является аналитической в кольце
(то
есть в окрестности точки z=).
Примеры.
1) f(z)=z2. z= - изолированная особая точка, так как других особых точек нет.
2)
.
Особые точки z=0
и z=.
Они изолированные особые точки.
3)
не является аналитической в точках
,
.
Тогда z=
- особая, но не изолированная точка
функции f(z).
Положим
,
.
Если f(z)
аналитическая при
,
то
аналитическая в
.
Поведение функции
f(z)
в окрестности точки z=
носит тот же характер, что и поведение
в окрестности точки
=0.
Разложим
в ряд Лорана в окрестности точки
=0:
.
Тогда 
. (*).
Поведение
функции
в
окрестности точки
=0
зависит от главной части ряда Лорана
.
Но
=
.
Следовательно,
роль главной части ряда Лорана в
окрестности точки z=
играет та часть, которая содержит степени
с положительными степенями
.
Тогда возможны 3 случая.
z= является для f(z):
1) устранимой особой точкой, если в разложении (*) нет членов с положительными степенями z;
2) полюсом, если в разложении конечное число членов с положительными степенями;
3) существенно особой точкой, если в разложении (*) бесконечно много членов с положительными степенями.
Свойства изолированных особых конечных точек переносятся на случай z=.
1)
z=
- устранимая особая точка;
2)
z=
- полюс;
3)
не существует
z=
- существенно особая точка.
Примеры.
1)
,
z=
- устранимая особая точка.
2)
,
z=
- полюс.
3)
.
не существует (см. пример из п. 4)
z=
- существенно особая точка.