- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
Рассмотрим один из возможных способов оценки погрешности методов численного интегрирования на примере метода средних прямоугольников. Для этого запишем выражение для интеграла на отрезке , полученное методом средних прямоугольников для постоянного шага интегрирования:
,
где , а – погрешность интегрирования, откуда
. (4.10)
Для оценки погрешности интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности средней точки :
. (4.11)
В малой окрестности точки в разложении (4.11) можно ограничиться небольшим количеством членов ряда. Поэтому, подставляя в (4.10) вместо функции ее тейлоровское разложение (4.11) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью
. (*)
При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все интегралы от членов ряда (4.11), содержащих нечетные степени при , обращаются в ноль. Подставляя полученное соотношение в формулу (4.10), получим
.
При малой величине шага интегрирования основной вклад в погрешность будет вносить первое слагаемое, называемое главным членом погрешности вычисления интеграла на отрезке , будем считать его равным . Главный член полной погрешности вычисления интеграла на отрезке определяется суммированием погрешностей на каждом отрезке :
. (4.12)
К интегралу в формуле (4.12) мы перешли, «используя» метод средних прямоугольников для функции .
Формула (4.12) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, данная оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Степень, в которую возводится шаг , называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок точности. Аналогично можно получить априорные оценки погрешностей других рассмотренных ранее методов.
Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность интегрирования на отрезке равняется разности между точным значением интеграла и его приближенным значением :
.
Из полученного выражения видно, что основной член погрешности на каждом частичном отрезке имеет второй порядок. Поскольку полное число отрезков интегрирования равно , то полная погрешность метода левых прямоугольников может быть рассчитана следующим образом:
.
Результат оценки погрешности формулы правых прямоугольников будет таким же. Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на отрезке вычисляется по формуле , то погрешность может быть рассчитана по формуле
.
Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезке может быть рассчитана следующим образом:
Далее приведены окончательные результаты оценки погрешностей:
1. Методы левых и правых прямоугольников
.
2. Метод средних прямоугольников
.
3. Метод трапеций
.
4. Метод Симпсона
.
Методы левых и правых прямоугольников являются методами первого порядка точности. Методы средних прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности, при этом метод трапеций обладает вдвое большей по абсолютной величине погрешностью. Поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности. Метод Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым числовым коэффициентом. Формула Симпсона позволяет получить очень высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае, методы второго порядка точности могут дать большую точность, чем метод Симпсона.