§ 3. Конечные расширения и их связь с простыми алгебраическими расширениями

Заметим, что любое расширение поля можно рассматривать как линейное векторное пространство над полем , векторами которого являются все числа из поля (включая и числа поля ), а скалярами – числа из поля . Проверка для всех аксиом векторного пространства не вызывает затруднений.

Для нас важен случай, когда пространство конечномерно.

Определение 1. Если расширение поля является конечномерным пространством над полем , то называется конечным расширением поля , а его размерность (обозначаемая символом ) – степенью конечного расширения поля .

Теорема 1. Пусть в цепочке полей

каждое поле является конечным расширением поля степени , . Тогда является конечным расширением поля степени .

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Лемма 1. Если система векторов

(1)

есть базис пространства над полем , а система

(2)

есть базис пространства над полем , то система

(3)

является базисом пространства над полем .

Доказательство. Требуется доказать, что система (3) линейно независима в пространстве над полем и каждый вектор из линейно выражается через систему (3).

Пусть выполняется равенство

, (4)

Переписывая это равенство в виде

, ,

и учитывая линейную независимость системы (2), заключаем:

,

Но так как система (1) линейно независима в пространстве над полем , то из последних равенств вытекает:

, ,

Таким образом, равенство (4) возможно только при , т.е. система (3) линейно независима в пространстве над полем .

Пусть . Так как система (2) есть базис пространства над полем , то

, .

Но поскольку система (1) есть базис над полем , что

,

и, следовательно,

что и завершает доказательство леммы.

Из леммы 1 следует, что теорема 1 верна при . Предположим, что теорема верна при , т.е. является конечным расширением поля степени . Но так как есть конечное расширение поля степени , то согласно лемме есть конечное расширение поля степени .

Таким образом, теорема верна при , а, следовательно, и при любом натуральном значении .

Теорема 2. Если – алгебраическое над полем число степени , то система

(5)

является базисом над полем .

Доказательство. Равенство

возможно только при , Так как в противном случае степень числа над полем была бы меньше . Значит, система (5) линейно независима в пространстве над полем .

Пусть . Тогда в силу теоремы 1 §2 , . Если – минимальный многочлен числа , то по теореме о делении с остатком

причем либо , либо степень меньше . Значит,

, ,

то есть линейно выражается через векторы системы (5). Таким образом система (5) является базисом пространства над полем .

Следствие. Простое алгебраическое расширение является конечным расширением поля , причем степень этого расширения равна степени алгебраического над полем числа .

Теорема 3. Если поле является конечным расширением поля степени , то каждый элемент из поля является алгебраическим над полем числом степени , где – некоторый делитель числа .

Доказательство. Так как , то любая система, содержащая более векторов, линейно зависима в пространстве над полем . В частности, если , то линейно зависима система

Это означает, что в поле существуют такие числа , из которых, по крайней мере, одно отлично от нуля, что

последнее равенство и означает, что число алгебраично над полем .

Рассмотрим теперь цепочку полей.

Если система векторов из линейно зависима над полем , то она линейно зависима и над полем , и, следовательно, является конечным расширением поля . Поэтому в силу теоремы 1

где число есть в силу следствия из теоремы 1 степень алгебраического над полем числа .

Таким образом, является делителем числа , что и завершает доказательство теоремы.

Следствие. Все элементы простого алгебраического расширения поля алгебраичны над полем .