- •Гдава I. Элементы теории полей
- •§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены
- •§ 2. Простые расширения числовых полей и их строение.
- •§ 3. Конечные расширения и их связь с простыми алгебраическими расширениями
- •§ 4. Составные расширения
- •§ 5. Составные алгебраические расширения.
- •§ 6. Простота составного алгебраического расширения.
§ 6. Простота составного алгебраического расширения.
Теорема 1. Любое составное алгебраическое расширение является простым, т.е. в нем существует такое число , что
Доказательство. Докажем Т1 при , т.е. для . Так как и – оба алгебраические над полем , то в есть такие неприводимые многочлены и , что , . Пусть
– все корни многочлена .
– все корни многочлена .
В силу неприводимости все – различны; аналогично и (Т2, §1). Рассмотрим элементы
(1)
Число их равно , т.е. конечно. Значит в (и даже в ) существует число , отличное от всех этих чисел. Положим
(
Ясно, что, и, следовательно, алгебраично над полем . Кроме того , Так как в противном случае имели бы
Так как , то (в силу лин. )
Рассмотрим многочлен
Это многочлен над полем , причем
,
т.е. – общий корень многочленов и .
Других общих корней многочлены и не имеют. Действительно, если бы , был общим корне и , то имели бы
откуда , , а это противоречит выбору .
Значит, тоже многочлен над полем . Но тогда и , и в силу минимальности получим
Таким образом и т.д.
Индукцией по Т2 распространяется на любое поле
Замечание. Так как число можно выбрать бесконечным числом способов, то и чисел существует бесконечно много.
Пример. Найти такое число , что . Здесь минимальные многочлены: ,
Таким образом в обозначениях теоремы 1 имеем:
В качестве можно взять любое рациональное число, отличное от . Полагая, например, , получим ,
В заключение подведем некоторые итоги. Введем обозначение.
– класс всех простых алгебраических расширений поля ;
– класс конечных расширений поля ;
– класс составных алгебраических расширений этого поля.
В §3 доказано, что простое алгебраическое расширение является конечным, то есть Т1 и Т2 §5 вытекает, что . Наконец, только что доказанная теорема означает, что . Таким образом все три класса совпадают .