Пример 2 «Множественная линейная регрессия»

Задание 2.1. В таблице приведены статистические данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья в некотором городе. При этом:

– цена квартиры (тыс. долл.);

– общая площадь квартиры (м²);

– расстояние от метро (минут пешком).

№ п/п
1	13,0	37,0	20
2	16,5	60,0	10
3	17,0	60,0	10
4	15,0	53,0	15
5	14,2	35,0	8
6	10,5	30,0	15
7	23,0	43,0	5
8	12,0	30,0	10
9	15,6	35,0	3
10	12,5	32,0	5
11	11,3	31,0	10
12	13,0	33,0	5
13	21,0	53,0	5
14	12,0	32,0	20
15	11,0	31,0	15
16	11,0	36,0	5
17	22,5	48,0	15
18	26,0	55,5	10
19	18,5	48,0	10
20	13,2	44,1	25
21	25,8	80,0	10
22	17,0	60,0	12
23	18,0	50,0	15
24	21,0	54,6	20
25	14,5	43,0	10
26	23,0	66,0	5
27	19,5	53,5	15
28	14,2	45,0	12
29	13,3	45,0	5
30	16,1	50,6	10

По представленным статистическим данным необходимо:

1) построить линейное уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от факторов и ;

2) найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл;

3) с помощью критерия Фишера проверить значимость уравнения регрессии;

4) найти точечный прогноз цены квартиры, если ее общая площадь равна 42,0 м² и расстояние от метро 15 минут пешком.

Задание 2.2. В таблице приведены статистические данные о ставках месячных доходов по трем акциям.

Акция	Доходы по месяцам, %
A	6,2	5,9	5,3	5,5	5,4	5,3	4,9	4,9	5,4	5,5	6,1	6,0
B	7,1	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	6,1	5,8	5,7	5,6	5,6	5,4
C	9,5	9,4	9,3	9,3	9,2	9,2	9,1	9,0	8,8	8,8	8,7	8,5

Есть основания предполагать, что доходы по акции C зависят от доходов и по акциям A и B. Необходимо:

1) составить уравнение множественной линейной регрессии по и  ;

2) найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл;

3) с помощью критерия Фишера проверить значимость уравнения регрессии;

4) оценить средний доход по акции C, если доходы по акциям A и B составили 5,5% и 6,0% соответственно.

Задание 2.3. В таблице приведены статистические данные о расходах на питание, душевом доходе и размере семьи для тринадцати групп семей.

Расход на питание , у.е.	Душевой доход , у.е.	Размер семей
426	611	1,4
530	712	2,1
654	805	1,9
730	896	1,9
611	1520	1,6
796	1025	1,9
870	2580	1,8
1050	3605	2
1290	4585	2,2
1348	5820	2,4
1525	7110	2,5
1820	9140	2,7
2342	15980	3

Необходимо:

1) составить уравнение множественной линейной регрессии по и  ;

2) найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл;

3) с помощью критерия Стьюдента проверить статистическую значимость коэффициентов полученного уравнения;

4) найти точечный прогноз расходов на питание, если душевой доход и размер семей составили 4950 и 2,3 соответственно.

Задание 2.4. По представленным в таблице данным о зависимости спроса на некоторый товар от цены этого товара и дохода домохозяйств необходимо:

1) составить уравнение линейной регрессии по и  ;

2) найти коэффициент детерминации ;

3) с помощью критерия Стьюдента проверить значимость коэфициентов уравнения регрессии;

4) найти точечный прогноз спроса, если цена товара и доход домохозяйства составили 5,4 и 965 соответственно.

31,4	4,1	1050
30,4	4,2	1010
32,1	4,0	1070
30,0	4,6	1060
30,5	4,0	1000
29,8	5,0	1040
31,1	3,9	1030
31,7	4,4	1080
30,7	4,5	1050
29,7	4,8	1020
29,7	4,7	990
30,5	4,5	960

Задание 2.5. По статистическим данным по 12 магазинам, представленным в таблице, о зависимости товарооборота магазина от численности работающих и площади подсобных помещений :

1) составить уравнение множественной линейной регрессии по и  ;

2) найти коэффициент детерминации ;

3) с помощью критерия Фишера проверить значимость полученного уравнения регрессии;

4) оценить вклад в величину товарооборота факторов и  ;

5) найти точечный прогноз товарооборота, если численность работающих и площадь подсобных помещений составили 30 и 25,0 соответственно.

22,1	31	29,5
14,2	34	14,2
23,3	35	18,0
43,2	41	21,3
66,6	38	47,5
7,8	32	10,0
12,7	29	21,0
36,1	34	36,5
27,9	21	24,4
54,7	44	57,9
18,9	21	28,7
36,6	24	44,6

Задание 2.6. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (млн руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

Номер предприятия				Номер предприятия
1	6,0	3,6	9,0	11	9,0	6,3	21,0
2	6,0	3,6	12,0	12	11,0	6,4	22,0
3	6,0	3,9	14,0	13	11,0	7,0	24,0
4	7,0	4,1	17,0	14	12,0	7,5	25,0
5	7,0	3,9	18,0	15	12,0	7,9	28,0
6	7,0	4,5	19,0	16	13,0	8,2	30,0
7	8,0	5,3	19,0	17	13,0	8,0	30,0
8	8,0	5,3	19,0	18	13,0	8,6	31,0
9	9,0	5,6	20,0	19	14,0	9,5	33,0
10	10,0	6,8	21,0	20	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1) построить линейную модель множественной регрессии;

2) вычислить коэффициент детерминации и с помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения множественной регрессии;

3) с помощью t-статистики Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов линейной множественной регрессии;

4) найти точечный прогноз выработки продукции на одного работника, если ввод в действие новых основных фондов и удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих составили 7,2 и 29,0 соответственно.

Задание 2.7. По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли ( , млрд руб.) от среднегодовой ставки по кредитам ( , %) , ставки по депозитам ( , %) и размера внутрибанковских расходов ( , млрд руб.).

Объем прибыли,	Среднегодовая ставка по кредитам,	Ставка по депозитам,	Внутрибанковские расходы,
50	22	17	150
54	24	17	154
60	20	15	146
62	30	17	134
70	32	16	132
54	32	16	126
84	30	16	134
82	33	15	126
86	34	15	88
84	28	14	120

Требуется:

1) построить трехфакторную линейную регрессионную модель;

2) для характеристики модели определить линейный коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации и интерпретировать полученные характеристики модели;

3) с помощью критерия Фишера осуществить оценку надежности уравнения регрессии;

4) с помощью критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Задание 2.8. Некоторая фирма, занимающаяся торговлей компьютеров и ноутбуков, определила, что на количество продаж основное влияние оказывают факторы: цена товара (млн руб.), затраты на рекламу (млн руб.) и число конкурирующих фирм в регионе .

Количество продаж,	Цена товара,	Затраты на рекламу,	Число конкурентов,
112	5,1	51	16
132	5,0	44	15
129	4,9	48	17
134	5,0	50	15
132	4,8	39	14
137	4,8	45	14
139	4,6	37	14
139	4,7	45	13
138	4,7	40	11
143	4,6	29	12
141	4,5	36	11
146	4,5	44	11
148	4,6	31	12
152	4,4	38	13

По представленным статистическим данным необходимо:

1) построить линейное уравнение множественной регрессии, которое включает все три фактора, и интерпретировать коэффициенты уравнения регрессии;

2) для характеристики модели определить линейный коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации и интерпретировать полученные характеристики;

3) с помощью критерия Фишера осуществить оценку надежности уравнения;

4) с помощью критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии;

5) осуществить точечный прогноз, если цена товара , затраты на рекламу , а число конкурентов .

Задание 2.9. На основании статистических данных, приведенных в таблице, построить линейную модель зависимости стоимости квартиры от ее общей площади , жилой площади и расстояния от квартиры до метро . С помощью критериев Фишера и Стьюдента оценить статистическую значимость уравнения регрессии и ее коэффициентов. Сделать выводы. Найти точечный прогноз стоимости квартиры, если общая площадь, жилая площадь и расстояние от квартиры до метро составляют 90, 61 и 12 соответственно.

Общая площадь, кв. м,	Жилая площадь, кв. м,	Расстояние до метро, минут пешком,	Стоимость, тыс. дол.
80	64	3	66
62	37	8	52
70	52	18	53
79	55	28	50
96	71	8	64
90	62	8	62
102	78	7	85
87	66	10	56
112	78	10	82
116	82	8	83
90	62	8	70
118	82	12	93
107	78	10	80
93	66	18	59
96	68	8	68
92	72	10	56
74	49	18	53
106	76	10	46
88	61	3	36
74	48	11	24
74	54	10	28
118	76	8	54
92	62	18	30
110	80	8	45

Задание 2.10. Предприятие выпускает продукцию, ежемесячный объем которой (тыс. шт.) зависит от затрат материальных ресурсов (тонны), трудозатрат (тыс. часов) и энергозатрат (млн кВт). В процессе развития производства наблюдалась эмпирическая зависимость между выпуском продукции и затратами ресурсов , и , отраженная в представленной таблице. Построить линейную регрессионную модель зависимости выпуска продукции от факторов , и . Оценить ее общее качество с помощью индекса детерминации и осуществить точечный прогноз, если затраты материальных ресурсов , трудозатраты , а энергозатраты .

Объем продукции,	Затраты материальных ресурсов,	Трудозатраты,	Энергозатраты,
45,0	16,0	50,3	7,7
50,3	20,4	55,6	6,9
54,1	18,0	58,4	7,8
55,1	22,1	50,8	8,6
60,8	21,2	57,5	10,1
65,6	24,2	59,3	8,4
68,8	27,1	62,0	9,3
66,6	26,6	64,7	7,4
73,2	28,3	59,9	11,3
81,9	31,2	64,6	10,7
91,8	35,5	59,8	12,4
86,1	34,6	62,3	11,7
83,1	33,7	65,2	9,9
93,1	34,2	70,1	13,0