2.2. Постулаты квантово-механической теории

Квантово-механическая теория является основополагающей концепцией, принципы которой не могут быть выведены из каких-либо более общих теоретических построений. В соответствии с этим в основе квантовой механики, как и в основе любой другой фундаментальной теории, лежат постулаты - положения, справедливость которых гарантируется опытом, хотя они и не могут быть строго доказаны. Такими постулатами квантовой механики являются принцип корпускулярно-волнового дуализма и принцип неопределенности.

Принцип корпускулярно-волнового дуализма может быть сформулирован следующим образом (Луи де Бройль, 1924): каждому движущемуся материальному объекту можно поставить в соответствие волновой процесс. Если это положение справедливо, то должно существовать уравнение, связывающее корпускулярные свойства объекта (масса, скорость) с волновыми (длина волны или частота). Такое уравнение может быть строго выведено для фотона, частицы, движению которой соответствует распространение электромагнитной волны. Поскольку для фотона масса покоя равна нулю, а скорость движения частицы и скорость распространения волны одинаковы (с = 310⁸ м/с), энергия фотона может быть найдена как из уравнения Планка (E = h), описывающего волновой процесс, так и из уравнения Эйнштейна (E = mc²), характеризующего фотон как частицу. Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что  = с, получим

где р - импульс фотона, откуда

(2-2)

Принцип де Бройля распространяет уравнение (2-2) на любые частицы, масса покоя которых отличается от нуля, а скорость (v) - от скорости света. В этом случае

(2-3).

Волны, соответствующие движущимся частицам, получили название волн материи или волн де Бройля. Представить физическую сущность волн де Бройля несколько затруднительно. По концепции М. Борна волны де Бройля являются волнами вероятности: для пучка электронов вероятность появления частицы в определенном объеме пространства изменяется по волновому закону.

Волны материи могут быть зарегистрированы экспериментально. Так, Девиссон и Джермер (1927) обнаружили, что пучок электронов, направленный на грань монокристалла никеля, дает при отражении типичную интерференционную картину. При этом экспериментально определенные значения длин волн совпали с рассчитанными по уравнению де Бройля. В настоящее время волновые свойства обнаружены экспериментально у таких частиц как протоны, нейтроны и даже атомы гелия. Для макробъектов длины волн де Бройля очень малы (порядка 10^-30-10^-40 м); зарегистрировать такую волну экспериментально не представляется возможным.

Вторым основным постулатом квантовой механики является принцип неопределенности, сформулированный В. Гейзенбергом (1927). В классической физике точность измерения той или иной характеристики объекта определяется лишь разрешающей способностью используемого прибора и не зависит от того, насколько точно определены какие-либо другие характеристики объекта. В микромире картина принципиально меняется; в нем существуют характеристики, точное определение одной из которых препятствует определению другой. Таким свойством обладают, например, координаты частицы, определяющие ее положение в пространстве, и ее скорость или импульс. Соотношение неопределенности можно сформулировать следующим образом: принципиально невозможно одновременно точно определить положение микрочастицы в пространстве и ее импульс.

Продемонстрируем справедливость этого принципа с помощью следующего мысленного эксперимента. Пусть движущийся электрон освещают потоком фотонов, а отраженные фотоны регистрируют с помощью некого идеального детектора, пытаясь таким образом установить координаты и импульс микрочастицы. Положение частицы в пространстве задается координатами x, y , z, а ее импульс, являющийся векторной величиной, - его проекциями на координатные оси (p_x, p_y, p_z). Очевидно, что при этом значение импульса будет характеризоваться некоторой неопределенностью (погрешностью определения), так как при столкновении фотона, имеющего собственный импульс, с электроном импульс последнего изменится. Точно также измерение координат будет проведено с некоторой неопределенностью, связанной с дифракцией фотонов на электроне, вследствие чего образ электрона будет размытым. При этом дифракция будет увеличиваться с увеличением длины волны излучения. Предположим, что наблюдатель желает максимально сократить неопределенность положения электрона, уменьшая для этого длину волны фотона. Однако это влечет за собой увеличение частоты излучения ( = с/), а также энергии и импульса фотона, так как

p = (2-4)

где Е_к - кинетическая энергия фотона. В результате в силу закона сохранения импульса столкновение с фотоном существенно изменит импульс электрона, погрешность его определения возрастет, а наблюдаемая траектория электрона станет зигзагообразной.

С другой стороны, уменьшение неопределенности импульса требует уменьшения импульса фотона, для чего необходимо уменьшить его энергию, а, следовательно, увеличить длину волны. Результатом этого будет усиление дифракции, а соответственно, увеличение неопределенности в значениях координат - экспериментатор увидит вместо точки размытое пятно, и не сможет установить, где именно в пределах этого пятна будет находится электрон.

Рассмотренный мысленный эксперимент показывает, что одновременно уменьшить неопределенность импульса и координат электрона принципиально невозможно.

Математически принцип неопределенности для частицы, движущейся в трехмерном пространстве, выражается тремя неравенствами:

xp_x  

yp_y  

zp_z  

где а и р_а неопределенности координат и проекций импульса на координатные оси,  = = 1,0510^-34 Джс.

Заметим, что координаты и импульс - не единственные физические характеристики, связанные принципом неопределенности. Так, для нестационарных состояний невозможно одновременно точно определить время существования состояния и его энергию.

Из принципа неопределенности вытекает несколько важных выводов, необходимых для правильного понимания особенностей микромира:

1. Микрочастица не имеет детерминированной (строго определенной) траектории. Для построения траектории движущегося тела необходимо знать закон, по которому происходит движение, и начальные условия - значения координат и импульса в какой-то момент времени. Принцип неопределенности это запрещает.

2. В микромире инструмент наблюдения взаимодействует с объектом наблюдения, изменяя его характеристики.

3. Модель атома должна быть вероятностной. Следует отказаться от попыток определить точные значения характеристик микрочастицы (координат, импульса, энергии и т.) и попытаться установить их вероятные значения.

При построении вероятностной модели атома пришлось отказаться от понятия "электронная орбита". В квантовой механике это понятие заменено понятием "электронная орбиталь". Электронная орбиталь - это область околоядерного пространства, в которой вероятность нахождения электрон существенно отличается от нуля. Невозможно установить, где именно в пределах орбитали в данный момент находится электрон, но можно оценить вероятность его пребывания в той или иной точке пространства. Таким образом, электрон как бы "размазан" (делокализован) в объеме электронной орбитали, образуя электронное облако.

Важнейшими характеристиками электронной орбитали являются ее граничная поверхность и функция радиального распределения вероятности нахождения электрона. Граничная поверхность определяет форму электронной орбитали (сфера, объемная восьмерка и т.д.). Обычно граничную поверхность строят таким образом, чтобы вероятность нахождения электрона в ограниченном ею пространстве составляла 90 или 95%. Функция радиального распределения показывает вероятность нахождения электрона на разных расстояниях от ядра. На рис. 1 и 2 показаны граничные поверхности и кривые радиального распределения для некоторых состояний электрона атома водорода.

Для основного состояния атома водорода (1s) граничная поверхность имеет форму сферы, а кривая радиального распределения вероятности проходит через максимум при r = 52,9 пм (1 пм = 10^-12 м). Заметим, что данная величина совпадает с радиусом первой боровской стационарной орбиты. На этом примере прослеживаются отличия модели атома водорода по Н. Бору от квантово-механической модели - то, что в теории Бора является радиусом первой стационарной орбиты, в квантовой механике характеризуется как наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром.

Рис. 1. Форма граничной поверхности s-, p- и d-орбиталей. Указаны также математические знаки

соответствующих волновых функций

Рис. 2. Кривые радиального распределения вероятности нахождения электронов для некоторых орбиталей

атома водорода